2005-浙江卷理-14 填-排列组合的实际应用

本题导读

本题核心考查排列组合中的有限制条件的排列问题。题目要求在选出的 4 个元素中，“字母 $O,Q$ 和数字 $0$ 至多只能出现一个”，限制条件较多。解题关键是利用“正难则反”的间接排除法，先求出无限制条件的总排法，再扣除不符合条件的排法。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 从集合 $\{O,P,Q,R,S\}$ 与 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母 $O,Q$ 和数字 $0$ 至多只能出现一个的不同排法种数是$\underline{}$. （用数字作答）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基础无约束总排法：先从 5 个字母中任取 2 个，再从 10 个数字中任取 2 个，最后将这 4 个元素进行全排列，得到总排法种数 $N_{\text{总}}$。
2. 分析不合题意的“反面”情况： “字母 $O,Q$ 和数字 $0$ 至多只能出现一个”的反面是：这三个特殊元素中**“至少出现了两个”**。 因为一共只选 2 个字母和 2 个数字，所以包含特殊元素的情况只能是：

• 情况①：字母中同时选了 $O$ 和 $Q$（共2个），而数字中选了除 0 以外的普通数字。
• 情况②：字母中选了 $O$ 或 $Q$ 中的一个（共1个），而数字中同时选了 0（共1个）。
• 情况③：字母中同时选了 $O$ 和 $Q$（共2个），且数字中同时选了 0（共1个）。

3. 计算反面排法并做差：分别计算上述三种不合题意情况的排法种数，将它们加总后从总排法中减去。

✅【答案】

Success

$8424$

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：求出各任取 2 个元素排成一排的总排法种数 从 5 个字母中任取 2 个的组合数为 ${\text{C}}_5^2$； 从 10 个数字中任取 2 个的组合数为 ${\text{C}}_{10}^2$； 选出的 4 个元素进行全排列的排法数为 ${\text{A}}_4^4$。 $\text{总排法种数 }{N}_{\text{总}}={\text{C}}_5^2\cdot {\text{C}}_{10}^2\cdot {\text{A}}_4^4=10\times 45\times 24=10800$

第二步：求出不满足“至多只出现一个”的反面排法种数 设定特殊元素集合为 $S=\{O,Q,0\}$。反面情况即选出的 4 个元素中包含 $S$ 中的元素个数 $\ge 2$。

• 情况①：字母中同时选入 $O,Q$，数字中没有选入 $0$ 此时字母的选法只有 1 种（即必选 $O,Q$）； 数字中不能选 0，只能从其余 9 个普通数字中任取 2 个，组合数为 ${\text{C}}_9^2$。 排法种数为： $N_1=1\times {\text{C}}_9^2\cdot {\text{A}}_4^4=36\times 24=864$

• 情况②：字母中只选入 $O,Q$ 中的一个，数字中选入 $0$ 此时字母中从 $O,Q$ 中任选 1 个，再从普通字母 $\{P,R,S\}$ 中任选 1 个，选法为 ${\text{C}}_2^1\cdot {\text{C}}_3^1$； 数字中必须包含 0，再从其余 9 个普通数字中任选 1 个，选法为 ${\text{C}}_9^1$。 排法种数为： $N_2=({\text{C}}_2^1\cdot {\text{C}}_3^1)\cdot {\text{C}}_9^1\cdot {\text{A}}_4^4=(2\times 3)\times 9\times 24=54\times 24=1296$

• 情况③：字母中同时选入 $O,Q$，数字中选入 $0$ 此时字母的选法只有 1 种（必选 $O,Q$）； 数字中必须包含 0，再从其余 9 个普通数字中任选 1 个，选法为 ${\text{C}}_9^1$。 排法种数为： $N_3=1\times {\text{C}}_9^1\cdot {\text{A}}_4^4=9\times 24=216$

不合题意的反面总排法种数为： $N_{\text{反}}=N_1+N_2+N_3=864+1296+216=2376$

第三步：求出符合题意的不同排法种数 $\text{符合题意的排法种数}=N_{\text{总}}-N_{\text{反}}=10800-2376=8424$

故答案为：8424。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：间接计数原理（正难则反）、有特定限制元素的组合与排列的综合运用。
2. 核心方法：反面分类排除法。
3. 避坑指南：一是本题若采用正面直接分类（如：完全不含特殊元素、只含 $O$、只含 $Q$、只含 $0$），分类项过多且容易在交叉计数时发生重复或遗漏，因此间接法是防错的最优解；二是在计算反面情况时，极易漏掉情况③（即三个特殊元素同时被选入的情况），导致多扣除或少扣除产生计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“计数原理”章节中关于排列组合应用题的经典创新高考题。 2.结论推广: “至多型”与“至少型”约束问题的通用解题策略：当正面分类数超过 3 种时，优先考虑利用集合的全集减去补集思想（$|A|=|U|-|A^{\prime }|$）转化为反面讨论，通常能大幅减少分类讨论的维度和计算量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

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