2005-浙江卷理-11 填-反函数的概念与求法

本题导读

本题核心考查分式函数反函数的求解方法。通过将原函数方程中的自变量 $x$ 解出来，再进行未知数对调即可得到反函数表达式，同时需要注意反函数的定义域等于原函数的值域。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 函数 $y=\frac{x}{x+2}$ （$x\in \mathbf{R}$，且 $x\ne -2$）的反函数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反解自变量 $x$：将原函数方程 $y=\frac{x}{x+2}$ 变形，利用代数运算将 $x$ 用含 $y$ 的代数式表示出来。
2. 互换未知数：将求得的表达式中的 $x$ 与 $y$ 对调，写出反函数的形式。
3. 确定反函数定义域：求出原函数的值域，该值域即为反函数的定义域。

✅【答案】

Success

$y=\frac{2x}{1-x}$ ($x\in \mathbf{R}$，且 $x\ne 1$)

✍【详细解析】

Abstract

解： 由原函数方程： $y=\frac{x}{x+2}$

方程两边同乘以 $(x+2)$ 去分母得： $y(x+2)=x$ $xy+2y=x$

将所有含 $x$ 的项移到等式一边，其余项移到另一边： $xy-x=-2y⟹x(y-1)=-2y$

两边同除以 $(y-1)$，反解出 $x$： $x=\frac{-2y}{y-1}=\frac{2y}{1-y}$

接下来确定原函数的值域（即反函数的定义域）： 从 $x=\frac{2y}{1-y}$ 可以看出，分母不能为 0，即 $1-y\ne 0⟹y\ne 1$。 所以原函数的值域为 $\{y|y\ne 1\}$。

将 $x$ 与 $y$ 互换，可得所求的反函数为： $y=\frac{2x}{1-x}(x\ne 1)$

故答案为： $y=\frac{2x}{1-x}$ ($x\in \mathbf{R}$，且 $x\ne 1$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：求反函数的标准步骤（一解、二换、三注定义域）。
2. 核心方法：代数有理化反解法。
3. 避坑指南：写出反函数解析式后，务必补充反函数的定义域（即原函数的值域 $x\ne 1$），若在解答题中漏掉定义域会扣分。对于分式函数 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的反函数，有一个快速公式： $y=\frac{-dx+b}{cx-a}$，利用该公式可直接口算检验： $y=\frac{0\cdot x+0}{1\cdot x+2}⟹y^{-1}=\frac{-2x+0}{1\cdot x-0}=\frac{-2x}{x-1}=\frac{2x}{1-x}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“函数的概念与性质”中反函数专题的典型基础习题。 2.结论推广: 分式线性变换（分式函数） $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($ad-bc\ne 0$) 的反函数恒为 $f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$，其定义域为 $\left\{x|x\ne \frac{a}{c}\right\}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)