2005-浙江卷理-10 单-向量的数量积运算

本题导读

本题问的是”一个向量的终点，到一条直线上各点，哪一点离它最近”。题眼在”对任意 $t$ 恒成立”——它说的不是某个不等式，而是 $t=1$ 时恰好取到最小值。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 已知向量 $\vec{a}\ne \vec{e}$， $|\vec{e}|=1$，对任意 $t\in \mathbf{R}$，恒有 $|\vec{a}-t\vec{e}|\ge |\vec{a}-\vec{e}|$，则 ()

A. $\vec{a}\perp \vec{e}$　　B. $\vec{a}\perp (\vec{a}-\vec{e})$　　C. $\vec{e}\perp (\vec{a}-\vec{e})$　　D. $(\vec{a}+\vec{e})\perp (\vec{a}-\vec{e})$

🔍【思路分析】

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1. 模长平方化：不等式两边均为非负数，直接两边平方去掉模长符号，转化为向量数量积的代数运算。
2. 构建二次函数：将平方后的不等式移项并整理，化成关于实数 $t$ 的一元二次多项式 $f(t)\ge 0$ 恒成立的形式。
3. 结合最值求解：由题意可知，当 $t=1$ 时该二次函数取得最小值。由于开口向上，其对称轴必为 $t=1$，利用对称轴公式即可求得向量的数量积特征。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 对已知不等式 $|\vec{a}-t\vec{e}|\ge |\vec{a}-\vec{e}|$ 两边进行平方得： $(\vec{a}-t\vec{e}{)}^2\ge (\vec{a}-\vec{e}{)}^2$

利用向量数量积的展开公式展开两边： ${\vec{a}}^2-2t\vec{a}\cdot \vec{e}+t^2{\vec{e}}^2\ge {\vec{a}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{e}+{\vec{e}}^2$

已知 $|\vec{e}|=1⟹{\vec{e}}^2=1$。消去两边的 ${\vec{a}}^2$ 并将各项移到左边整理，得到关于 $t$ 的一元二次不等式： $t^2-2(\vec{a}\cdot \vec{e})t+2\vec{a}\cdot \vec{e}-1\ge 0$

设左侧为关于 $t$ 的二次函数 $f(t)=t^2-2(\vec{a}\cdot \vec{e})t+2\vec{a}\cdot \vec{e}-1$。 该不等式对任意 $t\in \mathbf{R}$ 恒成立，说明该二次函数在全实数集上的最小值必须非负。

同时，原不等式表明：当且仅当 $t=1$ 时，右侧式子即为 $f(1)=0$。 也就是说，二次函数 $f(t)$ 的最低点（顶点）的横坐标必须为 $t=1$。

由于二次函数 $f(t)=t^2-2(\vec{a}\cdot \vec{e})t+\dots$ 的对称轴方程为： $t=-\frac{-2(\vec{a}\cdot \vec{e})}{2\times 1}=\vec{a}\cdot \vec{e}$

令对称轴等于顶点的横坐标，得： $\vec{a}\cdot \vec{e}=1$

利用向量数量积的因式分解，我们对各个选项进行验证。将 $\vec{a}\cdot \vec{e}=1$ 及 ${\vec{e}}^2=1$ 代入： 对于选项 C： $\vec{e}\cdot (\vec{a}-\vec{e})=\vec{e}\cdot \vec{a}-{\vec{e}}^2=1-1=0$ 因为数量积为 0，所以 $\vec{e}\perp (\vec{a}-\vec{e})$ 成立。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模长恒成立问题的有界化转换、向量垂直的充要条件（数量积为0）。
2. 核心方法：两边平方多项式函数化法。
3. 避坑指南：一是在将向量平方展开时，切记 ${\vec{e}}^2=|\vec{e}{|}^2=1$，不可漏掉平方；二是在得出 $\vec{a}\cdot \vec{e}=1$ 后，要学会逆向使用向量的分配律对选项进行化简提取，从而准确锁定 C 选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题几何背景是正交射影定理。在几何上， $|\vec{a}-t\vec{e}|$ 表示向量 $\vec{a}$ 的终点到直线上点 $t\vec{e}$ 的距离。当该距离在 $t=1$ 处取得最小值时，说明从 $\vec{a}$ 终点向直线引垂线，垂足恰好是 $\vec{e}$ 的终点，即向量 $\vec{a}-\vec{e}$ 垂直于基底方向 $\vec{e}$。 2.结论推广: 设 $\vec{e}$ 为单位向量，若 $|\vec{a}-t\vec{e}|$ 在 $t=t_0$ 处取得最小值，则必有 $(\vec{a}-t_0\vec{e})\perp \vec{e}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

• 20.03 导数研究单调性与极值最值 类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷理-10 单-向量模长

• 2014-浙江卷理-08 单-向量模的性质

• 2016-北京卷理-04 单-向量