2005-浙江卷理-09 单-集合的特征性质描述法

本题导读

本题核心考查以映射函数为背景的特征描述法集合的化简，以及集合的补集、交集和并集的综合运算（实质为求两个集合的对称差）。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 设 $f(n)=2n+1$ ($n\in \mathbf{N}$)， $P=\{1,2,3,4,5\}$， $Q=\{3,4,5,6,7\}$，记 $\hat{P}=\{n\in \mathbf{N}|f(n)\in P\}$， $\hat{Q}=\{n\in \mathbf{N}|f(n)\in Q\}$，则 $\left(\hat{P}\cap {\complement }_{\mathbf{N}}\hat{Q}\right)\cup \left(\hat{Q}\cap {\complement }_{\mathbf{N}}\hat{P}\right)=($\quad\quad$)$

A. $\{0,3\}$　　　　B. $\{1,2\}$　　　　C. $\{3,4,5\}$　　　　D. $\{1,2,6,7\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简新集合 $\hat{P}$ 和 $\hat{Q}$：根据条件 $f(n)=2n+1$ 且 $n\in \mathbf{N}$，分别找出使得 $2n+1$ 落在集合 $P$ 和 $Q$ 内的自然数 $n$，用列举法写出 $\hat{P}$ 和 $\hat{Q}$。
2. 理解目标运算的几何意义：目标代数式 $\left(\hat{P}\cap {\complement }_{\mathbf{N}}\hat{Q}\right)\cup \left(\hat{Q}\cap {\complement }_{\mathbf{N}}\hat{P}\right)$ 表示属于 $\hat{P}$ 但不属于 $\hat{Q}$，或者属于 $\hat{Q}$ 但不属于 $\hat{P}$ 的所有元素组成的集合，即两集合的对称差。
3. 计算并得出结果：利用求得的集合进行基本集合运算即可。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：求解集合 $\hat{P}$ 由题意， $\hat{P}=\{n\in \mathbf{N}|2n+1\in \{1,2,3,4,5\}\}$。 由于 $n\in \mathbf{N}$，故 $2n+1$ 只能取其中的奇数值 $1,3,5$：

• 当 $2n+1=1⟹n=0$
• 当 $2n+1=3⟹n=1$
• 当 $2n+1=5⟹n=2$ 所以， $\hat{P}=\{0,1,2\}$。

第二步：求解集合 $\hat{Q}$ 由题意， $\hat{Q}=\{n\in \mathbf{N}|2n+1\in \{3,4,5,6,7\}\}$。 由于 $n\in \mathbf{N}$，故 $2n+1$ 只能取其中的奇数值 $3,5,7$：

• 当 $2n+1=3⟹n=1$
• 当 $2n+1=5⟹n=2$
• 当 $2n+1=7⟹n=3$ 所以， $\hat{Q}=\{1,2,3\}$。

第三步：计算目标运算结果 求 $\hat{P}$ 与 $\hat{Q}$ 的交集： $\hat{P}\cap \hat{Q}=\{1,2\}$ 求 $\hat{P}$ 与 $\hat{Q}$ 的并集： $\hat{P}\cup \hat{Q}=\{0,1,2,3\}$

根据集合的运算性质，目标表达式 $\left(\hat{P}\cap {\complement }_{\mathbf{N}}\hat{Q}\right)\cup \left(\hat{Q}\cap {\complement }_{\mathbf{N}}\hat{P}\right)$ 实际上就是从并集中除去交集部分（对称差）： $\text{原式}=(\hat{P}\cup \hat{Q})\setminus (\hat{P}\cap \hat{Q})=\{0,1,2,3\}\setminus \{1,2\}=\{0,3\}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：特征描述法转换为列举法、自然数集 $\mathbf{N}$ 的范围（包含0）、集合的补交并综合运算。
2. 核心方法：方程（不等式）元素约束求解法。
3. 避坑指南：一是绝对不能漏掉 $n=0$ 这个自然数，如果误认为自然数集不包含 0，将导致算不出正确答案；二是在化简 $2n+1\in P$ 时，要注意 $2n+1$ 必然是奇数，因此可以直接剔除 $P,Q$ 中的偶数项以加快解题速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“集合的形式与基本运算”中关于特征性质转化为离散集合求交并补的常规综合高考题。 2.结论推广: 集合论中的对称差运算（Symmetric Difference），记作 $\hat{P}\Delta \hat{Q}$，满足代数等价关系： $\hat{P}\Delta \hat{Q}=\left(\hat{P}\cap {\complement }_U\hat{Q}\right)\cup \left(\hat{Q}\cap {\complement }_U\hat{P}\right)=(\hat{P}\cup \hat{Q})\cap {\complement }_U(\hat{P}\cap \hat{Q})$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)