2005-浙江卷理-08 单-二倍角公式

本题导读

本题核心考查利用二倍角公式将三角函数式转化为二次函数，并在限定闭区间内求解二次函数的最值。解题关键是借助已知参数范围判定二次函数对称轴的位置，从而确定最值点。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 已知 $k<-4$，则函数 $y=\cos 2x+k(\cos x-1)$ 的最小值是 ()

A. 1　　　　　B. -1　　　　　C. $2k+1$　　　　　D. $-2k+1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一三角函数名称：利用二倍角公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$，将函数中的自变量统一为 $\cos x$。
2. 换元为二次函数：设 $t=\cos x$，根据余弦函数的性质， $t\in [-1,1]$。函数转化为关于 $t$ 的二次函数。
3. 分析对称轴确定最值：找出二次函数的对称轴表达式，利用已知条件 $k<-4$ 判定对称轴与区间 $[-1,1]$ 的相对位置关系，进而求出在区间端点或顶点处的最小值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据三角函数的二倍角公式，原函数可化为： $y=(2{\cos }^{2}x-1)+k(\cos x-1)=2{\cos }^{2}x+k\cos x-k-1$

设 $t=\cos x$，因为 $x\in \mathbf{R}$，所以 $t\in [-1,1]$。 原函数转化为关于 $t$ 的二次函数： $g(t)=2t^2+kt-k-1,t\in [-1,1]$

该二次函数的图象开口向上，其对称轴方程为： $t=-\frac{k}{2\times 2}=-\frac{k}{4}$

因为已知条件为 $k<-4$，在不等式两边同乘以 $-\frac{1}{4}$（注意改变不等号方向）得： $-\frac{k}{4}>1$

这说明二次函数 $g(t)$ 的对称轴位于区间 $[-1,1]$ 的右侧。 因为二次函数图象开口向上且对称轴在区间右侧，所以函数 $g(t)$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上单调递减。

因此，当 $t$ 取区间右端点最大值，即 $t=1$ 时，函数 $g(t)$ 取得极小值（即最小值）： $y_{\text{min}}=g(1)=2\times 1^2+k\times 1-k-1=2+k-k-1=1$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦二倍角公式变形、二次函数闭区间单调性最值判定。
2. 核心方法：换元降次与轴区间相对位置分析法。
3. 避坑指南：一是换元后必须严格标注新自变量的定义域 $t\in [-1,1]$；二是在利用 $k<-4$ 推导 $-\frac{k}{4}$ 的范围时，切记乘以负数时不等号要改变方向，若误认为对称轴在左侧，将会错用 $t=-1$ 带入计算导致错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“三角函数”与“函数的概念与性质”中关于三角二次型最值分类讨论的经典高考小题。 2.结论推广: 对于形如 $y=2{\cos }^{2}x+k\cos x+C$ 的函数，其最值完全由对称轴 $t_0=-\frac{k}{4}$ 决定。若 $|t_0|>1$，最值必在区间端点 $\cos x=\pm 1$ 处取得；若 $|t_0|\le 1$，最值可在二次函数的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

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