2005-浙江卷理-07 单-三角形的三边关系

本题导读

本题核心考查三角形三边关系定理与二元一次不等式组所表示的平面区域的映射。解题关键是将“能构成三角形”的几何特征翻译成代数不等式组，通过分析边界直线及相应区域确定正确图象。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 设集合 $A=\{(x,y)|x,y,1-x-y\text{ 是三角形的三边长}\}$，则 $A$ 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 翻译三边非负条件：三边长均须大于0，即 $x>0$、 $y>0$、 $1-x-y>0⟹x+y<1$。这三个不等式构成了一个以 $(0,0)$、 $(1,0)$、 $(0,1)$ 为顶点的直角三角形区域。
2. 翻译两边之和大于第三边条件：

• $x+y>1-x-y⟹2x+2y>1⟹x+y>\frac{1}{2}$
• $x+(1-x-y)>y⟹1-y>y⟹2y<1⟹y<\frac{1}{2}$
• $y+(1-x-y)>x⟹1-x>x⟹2x<1⟹x<\frac{1}{2}$

3. 联立交集判定区域：将上述导出的 5 个核心不等式进行空间网格交集叠加，对比 4 个选项即可得出正确答案。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 设三角形的三边长分别为 $a=x$，$b=y$，$c=1-x-y$。 根据三角形的几何性质，三边长必须同时满足“每边严格大于0”以及“任意两边之和大于第三边”。

第一步：写出每边严格大于0的不等式 $\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ 1-x-y>0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ x+y<1\end{array}$ 该不等式组表示的区域为位于第一象限内、直线 $x+y=1$ 左下方的直角三角形。

第二步：写出任意两边之和大于第三边的不等式

1. $a+b>c$: $x+y>1-x-y⟹2x+2y>1⟹x+y>\frac{1}{2}$ 此区域位于直线 $x+y=\frac{1}{2}$ 的右上侧。

2. $a+c>b$: $x+(1-x-y)>y⟹1-y>y⟹2y<1⟹y<\frac{1}{2}$ 此区域位于水平线 $y=\frac{1}{2}$ 的下方。

3. $b+c>a$: $y+(1-x-y)>x⟹1-x>x⟹2x<1⟹x<\frac{1}{2}$ 此区域位于垂直线 $x=\frac{1}{2}$ 的左侧。

第三步：联立得到最终的不等式组 综合以上所有代数约束，集合 $A$ 的区域由下列不等式组共同决定： $\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ x<\frac{1}{2}\\ y<\frac{1}{2}\\ x+y>\frac{1}{2}\end{array}$

分析该区域的几何边界线：

• $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ 且 $y\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ 说明区域落在一个边长为 $\frac{1}{2}$ 的正方形内；
• 不等式 $x+y>\frac{1}{2}$ 说明需要挖去该正方形中靠近原点 $O$ 侧的那个小直角三角形（由两轴及直线 $x+y=\frac{1}{2}$ 围成）。

对照各选项图象，只有选项 A 准确地表达了由 $x=\frac{1}{2}$、 $y=\frac{1}{2}$ 和 $x+y=\frac{1}{2}$ 三条边界虚线围成的三角形阴影区域。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：构成三角形的充要条件（三边严格正、两短边之和大于长边）、二元一次不等式组的画法。
2. 核心方法：几何性质代数化、边界区域交集法。
3. 避坑指南：很多学生极易漏掉“三边必须大于0”的本质隐性隐含条件，或者在利用两边之和大于第三边时只列出了其中一个不等式（例如只列出 $x+y>1-x-y$），导致求解出的区域范围过大，从而误选 B 或 D。务必保证 3 个两边之和大于第三边的不等式全部列出并取交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题来源于人教A版选择性必修第一册“直线与圆的方程”章节中关于“二元一次不等式组与平面区域”的经典高考创新交汇题。 2.结论推广: 假设三角形的三边长分别为 $x$, $y$, $C-x-y$ ($C>0$为常数周长)，则能构成三角形的 $(x,y)$ 在平面直角坐标系中所表示的图形结构，恒为由直线 $x=\frac{C}{2}$, $y=\frac{C}{2}$, $x+y=\frac{C}{2}$ 围成的等腰直角三角形区域。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.05 射影定理与内角和性质
• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)