2005-浙江卷理-04 单-复数的代数运算

本题导读

本题核心考查复数的代数四则运算以及复数的几何意义，需要将复杂的复数表达式化简为标准代数形式 $a+bi$，进而判定其在复平面内对应点的象限。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 在复平面内，复数 $\frac{\text{i}}{1+\text{i}}+(1+\sqrt{3}\text{i}{)}^2$ 对应的点位于 ()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：化简第一项 $\frac{\text{i}}{1+\text{i}}$，分子分母同乘以共轭复数 $1-\text{i}$ 实现分母实数化。
2. 第二步：化简第二项 $(1+\sqrt{3}\text{i}{)}^2$，利用完全平方公式展开并结合 ${\text{i}}^2=-1$ 化简。
3. 第三步：将两项结果相加，整理成实部与虚部独立的形式 $a+bi$。
4. 第四步：根据实部 $a$ 和虚部 $b$ 的正负号判定对应的点 $(a,b)$ 所在的象限。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设目标复数为 $z=z_1+z_2$，其中 $z_1=\frac{\text{i}}{1+\text{i}}$， $z_2=(1+\sqrt{3}\text{i}{)}^2$。

对 $z_1$ 进行分母实数化： $z_1=\frac{\text{i}(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{\text{i}-{\text{i}}^2}{1^2-{\text{i}}^2}=\frac{\text{i}-(-1)}{1-(-1)}=\frac{1+\text{i}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$

对 $z_2$ 利用完全平方公式展开： $z_2=1^2+2\sqrt{3}\text{i}+(\sqrt{3}\text{i}{)}^2=1+2\sqrt{3}\text{i}-3=-2+2\sqrt{3}\text{i}$

将 $z_1$ 与 $z_2$ 相加合并同类项： $z=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{i}\right)+\left(-2+2\sqrt{3}\text{i}\right)=\left(\frac{1}{2}-2\right)+\left(\frac{1}{2}+2\sqrt{3}\right)\text{i}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{2}+2\sqrt{3}\right)\text{i}$

分析复数 $z$ 的实部与虚部：

• 实部 $a=-\frac{3}{2}<0$
• 虚部 $b=\frac{1}{2}+2\sqrt{3}>0$

根据复数的几何意义，该复数在复平面内对应的点坐标为 $\left(-\frac{3}{2},\frac{1}{2}+2\sqrt{3}\right)$。 由于横坐标为负，纵坐标为正，故该点位于第二象限。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数分母实数化通法、虚数单位性质 ${\text{i}}^2=-1$、复平面坐标映射。
2. 核心方法：复数标准代数形式化。
3. 避坑指南：一是在计算 $(\sqrt{3}\text{i}{)}^2$ 时，注意系数 $\sqrt{3}$ 也要平方，且 ${\text{i}}^2=-1$，极易因粗心算成 $+3$ 或 $-3\text{i}$；二是牢记四个象限的符号特征：第一象限 $(+,+)$，第二象限 $(-,+)$，第三象限 $(-,-)$，第四象限 $(+,-)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“复数”章节中关于复数四则运算与几何意义的课后高频基础巩固题。 2.结论推广: 对于任何形如 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbf{R}$) 的复数，它与复平面上的点 $Z(a,b)$ 以及平面向量 $\overrightarrow{OZ}$ 构成一一对应关系，这是通过数形结合解决复数模长、轨迹等综合问题的数学基石。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

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