2005-浙江卷理-03 单-分段函数

本题导读

本题核心考查分段函数的求值方法，需要根据自变量所在的区间选择正确的解析式，按照由内向外的顺序分步计算。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}|x-1|-2,& |x|\le 1\\ \frac{1}{1+x^2},& |x|>1\end{array}$，则 $f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]=($\quad\quad$)$

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{4}{13}$　　　　　　C. $-\frac{9}{5}$　　　　　　D. $\frac{25}{41}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：先求内层函数值 $f\left(\frac{1}{2}\right)$。判断 $\frac{1}{2}$ 属于哪个区间，代入相应的解析式计算。
2. 第二步：将第一步求得的结果作为新的自变量，判断其所在的区间。
3. 第三步：代入对应的解析式求出最终的复合函数值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先计算内层函数值 $f\left(\frac{1}{2}\right)$： 因为 $\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}\le 1$，所以适用第一段解析式 $f(x)=|x-1|-2$。 代入得： $f\left(\frac{1}{2}\right)=\left|\frac{1}{2}-1\right|-2=\left|-\frac{1}{2}\right|-2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$

接下来计算外层函数值 $f\left(-\frac{3}{2}\right)$： 因为 $\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}>1$，所以适用第二段解析式 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$。 代入得： $f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{1+{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{1}{1+\frac{9}{4}}=\frac{1}{\frac{13}{4}}=\frac{4}{13}$

所以 $f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]=\frac{4}{13}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数对应区间的判定、复合函数由内向外的运算顺序。
2. 核心方法：分步替代法。
3. 避坑指南：计算外层函数时，新自变量为 $-\frac{3}{2}$，在判定区间时需要取绝对值 $\left|-\frac{3}{2}\right|=1.5>1$，切勿因为其是负数而盲目代入第一段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“函数的概念与性质”章节中分段函数求值的经典基础习题。 2.结论推广: 对于分段函数复合求值问题 $f(f(a))$，其通法为：设 $f(a)=b$，先根据 $a$ 的范围求出 $b$，再根据 $b$ 的范围求出 $f(b)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

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