2005-浙江卷文-20 解-二次函数对称与单调性参数

本题导读

本题考查函数图象的对称变换，以及含绝对值不等式的求解与二次函数在闭区间上单调性的参数处理。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于原点对称，且 $f(x)=x^2+2x$．

(1) 求函数 $g(x)$ 的解析式；

(2) 解不等式 $g(x)\ge f(x)-|x-1|$；

(3) 若 $h(x)=g(x)-\lambda f(x)+1$ 在 $[-1,1]$ 上是增函数，求实数 $\lambda$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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(1) 关于原点对称即 $g(x)=-f(-x)$。(2) 化为 $|x-1|\ge 2x^2$ 按区间去绝对值。 (3) $h^{\prime }$ 是一次函数，闭区间上恒非负只需两端点非负。

✅【答案】

Success

(1) $g(x)=-x^2+2x$ (2) $\left[-1,\frac{1}{2}\right]$ (3) $\lambda \le 0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设点 $(x,g(x))$ 在 $g$ 的图象上，则它关于原点的对称点 $(-x,-g(x))$ 在 $f$ 的图象上，即 $f(-x)=-g(x)$，故 $g(x)=-f(-x)=-((-x{)}^2+2(-x))=-x^2+2x$． (2) 由 $g(x)\ge f(x)-|x-1|$ 得 $-x^2+2x\ge x^2+2x-|x-1|$，即 $|x-1|\ge 2x^2$． 当 $x<1$ 时，$1-x\ge 2x^2$，即 $2x^2+x-1\le 0$，$(2x-1)(x+1)\le 0$，解得 $-1\le x\le \frac{1}{2}$； 当 $x\ge 1$ 时，$x-1\ge 2x^2$，即 $2x^2-x+1\le 0$，判别式 $\Delta =1-8<0$，无实数解． 故原不等式的解集为 $[-1,\frac{1}{2}]$． (3) $h(x)=g(x)-\lambda f(x)+1=-(1+\lambda )x^2+2(1-\lambda )x+1$，则 $h^{\prime }(x)=-2(1+\lambda )x+2(1-\lambda )$，是关于 $x$ 的一次函数．$h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上为增函数等价于 $h^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，由于 $h^{\prime }$ 是一次函数，这等价于两端点处均非负：$h^{\prime }(-1)=2(1+\lambda )+2(1-\lambda )=4\ge 0$ 恒成立，$h^{\prime }(1)=-2(1+\lambda )+2(1-\lambda )=-4\lambda \ge 0$，故 $\lambda \le 0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数对称与单调性参数

核心方法：关于原点对称 $\Rightarrow g(x)=-f(-x)$，单调性用一次函数端点控制

避坑指南：$h(x)$ 的导数是一次函数，在 $[-1,1]$ 上恒非负只需两端点非负；别把对称关系写成 $g(x)=f(-x)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 函数与必修 5 不等式

结论推广：图象关于原点对称 $⟺g(x)=-f(-x)$；二次函数在闭区间上单调 $⟺$ 对称轴在区间一侧或导数恒定号

方法推广：含参二次函数单调性问题转化为”对称轴与区间的位置关系”分类讨论，或用导数一次函数端点控制

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷II文-20 解-几何证明
• 2016-全国卷I文-20 解-抛物线
• 2012-大纲卷(理)-20 解-导数