2005-浙江卷文-09 单-直线与二次曲线相切求参数

本题导读

本题考查直线与二次曲线相切的条件，以及联立消元后判别式的应用。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 函数 $y=a{x}^2+1$ 的图象与直线 $y=x$ 相切，则 $a=$()

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立 $a{x}^2+1=x$。
2. 相切 $⟺$ 判别式为零。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

联立 $y=a{x}^2+1$ 与 $y=x$，得 $a{x}^2-x+1=0$．由题意 $a\ne 0$，图象相切等价于该二次方程有两个相等实根，故判别式 $\Delta =1-4a=0$，解得 $a=\frac{1}{4}$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与二次曲线相切求参数

核心方法：联立消元令判别式为零

避坑指南：$a{x}^2+1=x$ 即 $a{x}^2-x+1=0$，$\Delta =1-4a=0$ 给 $a=\frac{1}{4}$；漏掉”相切”转化为 $\Delta =0$ 就只能猜

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2（旧教材抛物线）与选修导数

结论推广：直线与二次曲线相切 $⟺$ 联立消元后二次方程判别式为零（且二次项系数非零）

方法推广：“相切”条件的代数化是解题核心：位置关系 $\to$ 方程组解的个数 $\to$ 判别式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I理-09 单-几何证明
• 2009-大纲卷II理-09 单-抛物线
• 1980-全国理-09 解-抛物线与圆的切线垂直