2005-江西卷理-22 解-抛物线的切线方程与韦达定理

本题导读

本题作为压轴题，核心考查抛物线的切线几何性质。第一问利用切点弦方程与韦达定理，结合重心公式通过消元法求解轨迹方程；第二问利用抛物线的焦半径性质与两点间距离公式，通过证明三角形相似来巧妙推导角度相等。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 如图，设抛物线 $C:y=x^2$ 的焦点为 $F$，动点 $P$ 在直线 $l:x-y-2=0$ 上运动，过 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA$、$PB$，且与抛物线 $C$ 分别相切于 $A$、$B$ 两点.

(1)求 $△APB$ 的重心 $G$ 的轨迹方程；

(2)证明 $\angle PFA=\angle PFB$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：设 $P(x_0,y_0)$，$A(x_1,x_1^2)$，$B(x_2,x_2^2)$。利用导数求出切线方程，结合点 $P$ 在切线上建立二次方程，利用韦达定理表示出 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$，代入重心坐标公式，消去参数 $x_0,y_0$ 即可。
2. 第（2）问：由抛物线定义及勾股定理分别表示出 $FA,FB,F{P}^2$ 以及 $P{A}^2,P{B}^2$，通过代数变形证明 $\frac{FA}{FP}=\frac{FP}{FB}=\frac{PA}{PB}$，从而利用三边对应成比例判定 $△FAP\sim △FPB$，进而得出对应角相等。

✅【答案】

Success

有 $\frac{FA}{FP}=\frac{FP}{FB}=\frac{PA}{PB}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：设 $P(x_0,y_0)$，其中 $x_0-y_0-2=0⟹y_0=x_0-2$。 设切点 $A(x_1,x_1^2)$，$B(x_2,x_2^2)$。 由 $y=x^2$ 得 $y^{\prime }=2x$，则过抛物线上任意一点 $(x_i,x_i^2)$ 的切线方程为 $y-x_i^2=2x_i(x-x_i)$，即 $y=2x_{i}x-x_i^2$。 因为切线过点 $P(x_0,y_0)$，所以 $y_0=2x_i{x}_0-x_i^2$，即 $x_i^2-2x_0{x}_i+y_0=0$。 由此可知，$x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x_{0}x+y_0=0$ 的两个不相等的实根。 由韦达定理得：$x_1+x_2=2x_0$，$x_1{x}_2=y_0$。

设 $△APB$ 的重心坐标为 $G(x,y)$，由重心坐标公式得： $x=\frac{x_1+x_2+x_0}{3}=\frac{2x_0+x_0}{3}=x_0$ $y=\frac{x_1^2+x_2^2+y_0}{3}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2+y_0}{3}=\frac{4x_0^2-2y_0+y_0}{3}=\frac{4x_0^2-y_0}{3}$ 将 $x_0=x$ 及 $y_0=x-2$ 代入上式中，消去 $x_0,y_0$ 得： $y=\frac{4x^2-(x-2)}{3}=\frac{4}{3}{x}^2-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ 由于切线总存在，需满足 $\Delta =4x_0^2-4y_0=4x_0^2-4(x_0-2)=4(x_0^2-x_0+2)>0$ 恒成立，故 $x\in \mathbf{R}$。 所以重心 $G$ 的轨迹方程为：$y=\frac{4}{3}{x}^2-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$。

（2）证明： 抛物线 $C:y=x^2$ 的焦点为 $F\left(0,\frac{1}{4}\right)$。 由抛物线焦半径公式及两点间距离公式可得： $FA=x_1^2+\frac{1}{4},FB=x_2^2+\frac{1}{4}$ $F{P}^2=x_0^2+{\left(y_0-\frac{1}{4}\right)}^2$ 将 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y_0=x_1{x}_2$ 代入 $F{P}^2$ 中变形得： $F{P}^2={\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2+{\left(x_1{x}_2-\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2}{4}+x_1^2{x}_2^2-\frac{1}{2}{x}_1{x}_2+\frac{1}{16}$ $=\frac{x_1^2+x_2^2}{4}+x_1^2{x}_2^2+\frac{1}{16}=\left(x_1^2+\frac{1}{4}\right)\left(x_2^2+\frac{1}{4}\right)=FA\cdot FB$ 由此可得：$\frac{FA}{FP}=\frac{FP}{FB}=\sqrt{\frac{FA}{FB}}$。

再计算切线段长度 $P{A}^2$： $P{A}^2=(x_1-x_0{)}^2+(x_1^2-y_0{)}^2={\left(x_1-\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2+(x_1^2-x_1{x}_2{)}^2$ $={\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)}^2+x_1^2(x_1-x_2{)}^2=(x_1-x_2{)}^2\left(\frac{1}{4}+x_1^2\right)=(x_1-x_2{)}^2\cdot FA$ 同理可得：$P{B}^2=(x_1-x_2{)}^2\cdot FB$。 因此：$\frac{PA}{PB}=\sqrt{\frac{FA}{FB}}$。

综上所述，有 $\frac{FA}{FP}=\frac{FP}{FB}=\frac{PA}{PB}$。 根据三边对应成比例，两三角形相似，即 $△FAP\sim △FPB$。 故其对应角相等，即 $\angle PFA=\angle PFB$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切点弦关联的一元二方程结构、参数方程消元、利用代数距离构建几何相似。
2. 核心方法：韦达定理整体代换法、SSS三角形相似判定法。
3. 避坑指南：第（2）问若使用常规的斜率公式去计算 $\tan \angle PFA$ 与 $\tan \angle PFB$，运算量将极其庞大且极易因符号出错导致无法化简。利用抛物线中特殊的隐藏性质 $F{P}^2=FA\cdot FB$ 走向几何相似，是避开繁琐计算的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于解析几何中抛物线的经典阿基米德三角形（Archimedes’ triangle）性质。过抛物线外一点引两条切线，该点与焦点的连线必平分两条焦半径的夹角。 2.结论推广: 对于任意抛物线 $y^2=2px$ 或 $x^2=2py$，过准线上或平面上任意一点 $P$ 向抛物线引两条切线 $PA,PB$，若 $F$ 轴为焦点，则恒有：（1）$F{P}^2=FA\cdot FB$；（2）$△FAP\sim △FPB$；（3）$\angle PFA=\angle PFB$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)