2005-江西卷理-18 解-平面向量的数量积坐标运算

本题导读

本题核心考查平面向量数量积的坐标表示、三角函数的恒等变形以及导数的常规运算。题目的关键与易错点在于三角函数定义域对最终方程解的制约。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 已知向量 $\vec{a}=\left(2\cos \frac{x}{2},\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right)$，$\vec{b}=\left(\sqrt{2}\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right),\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)\right)$，令 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$.是否存在实数 $x\in [0,\pi ]$，使 $f(x)+f^{\prime }(x)=0$（其中 $f^{\prime }(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数）？若存在，则求出 $x$ 的值；若不存在，则证明之.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据向量数量积的坐标公式写出 $f(x)$ 的原始表达式。
2. 利用两角和的正弦公式与正切的诱导公式将 $f(x)$ 化简，并确定其定义域。
3. 求出导函数 $f^{\prime }(x)$，代入方程 $f(x)+f^{\prime }(x)=0$ 求解，最后用定义域检验解的合法性。

✅【答案】

Success

不存在满足条件的实数 $x$

✍【详细解析】

Abstract

首先确定函数 $f(x)$ 的定义域。要使函数有意义，两正切项的自变量不能等于 $k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbf{Z}$)， 即 $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$ 且 $\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$， 解得 $x\ne 2k\pi +\frac{\pi }{2}$ 且 $x\ne 2k\pi +\frac{3\pi }{2}$。 因为 $x\in [0,\pi ]$，所以 $x\ne \frac{\pi }{2}$。 即函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$。

计算并化简 $f(x)$ 的解析式： $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}=2\sqrt{2}\cos \frac{x}{2}\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)+\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)$

由两角和的正弦公式展开第一部分： $2\sqrt{2}\cos \frac{x}{2}\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\cos \frac{x}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \frac{x}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \frac{x}{2}\right)=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+2{\cos }^2\frac{x}{2}=\sin x+\cos x+1$

由诱导公式化简第二部分： $\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left[\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{2}\right]=-\cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)$ 则 $\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=-1$。

重组可得：$f(x)=\sin x+\cos x+1-1=\sin x+\cos x$。 对 $f(x)$ 求导得：$f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x$。

将 $f(x)$ 与 $f^{\prime }(x)$ 代入方程 $f(x)+f^{\prime }(x)=0$ 得： $(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)=0⟹2\cos x=0⟹\cos x=0$ 因为 $x\in [0,\pi ]$，解得 $x=\frac{\pi }{2}$。

经检验，$x=\frac{\pi }{2}$ 不在函数 $f(x)$ 的定义域内。 综上所述，不存在满足条件的实数 $x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积坐标表示、三角恒等变换公式、导数基础计算、函数定义域。
2. 核心方法：三角式化简法、定义域限制检验法。
3. 避坑指南：本题极易在求出 $x=\frac{\pi }{2}$ 后直接作为最终答案。务必注意，只要原题干中直接出现了 $\tan x$、$\cot x$ 或分式结构，在解方程后必须严格回代检验定义域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由人教A版选择性必修第一册“平面向量的数量积”与必修第一册“三角恒等变换”的课后综合练习题拓展而来。 2.结论推广: 若两个角 $\alpha ,\beta$ 满足 $\alpha -\beta =\frac{\pi }{2}+k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)，则在两角正切值均有意义的前提下，恒有 $\tan \alpha \cdot \tan \beta =-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)