2005-江西卷理-14 填-简单线性规划

本题导读

本题核心考查分式型目标函数在给定可行域下的最值问题。通过将代数式 $\frac{y}{x}$ 转化为可行域内的动点与原点连线的斜率，利用数形结合的思想直观求解。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 设实数 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-y-2\le 0\\ x+2y-4>0\\ 2y-3\le 0\end{array}$，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析不等式组确定的平面区域（可行域）的顶点坐标。
2. 明确目标函数 $z=\frac{y}{x}$ 的几何意义，即可行域内的动点 $P(x,y)$ 与原点 $O(0,0)$ 连线的斜率。
3. 结合可行域的位置，寻找使连线斜率达到最大时的边界极限位置。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y-2\le 0\\ x+2y-4>0\\ 2y-3\le 0\end{array}$ 可知，可行域为一个位于第一象限的三角形区域。

联立各边界方程，求得相应的边界交点坐标： 由 $\{\begin{array}{l}x-y-2=0\\ 2y-3=0\end{array}$ 解得交点 $A\left(\frac{7}{2},\frac{3}{2}\right)$； 由 $\{\begin{array}{l}x+2y-4=0\\ 2y-3=0\end{array}$ 解得交点 $B\left(1,\frac{3}{2}\right)$； 由 $\{\begin{array}{l}x-y-2=0\\ x+2y-4=0\end{array}$ 解得交点 $C\left(\frac{8}{3},\frac{2}{3}\right)$。

目标函数 $z=\frac{y}{x}$ 的几何意义是可行域内的动点 $P(x,y)$ 与原点 $O(0,0)$ 连线的斜率 $k_{OP}$。 由图象性质可知，整个可行域均满足 $x>0$。当动点 $P$ 在可行域内向开边界顶点 $B\left(1,\frac{3}{2}\right)$ 无限靠近时，斜率 $k_{OP}$ 达到最大值。 因此，$\frac{y}{x}$ 的最大值为 $k_{OB}=\frac{\frac{3}{2}}{1}=\frac{3}{2}$。

答案为：$\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面区域的锁定、非线性目标函数（分式型）的几何意义转化。
2. 核心方法：数形结合法、顶点极限分析法。
3. 避坑指南：一是必须熟练掌握常见非线性目标函数的几何转化（如 $\frac{y}{x}$ 表示斜率， $x^2+y^2$ 表示距离的平方）；二是不要因为存在开边界（带有 $>$ 号）而怀疑最大值的存在性，在高中数学此类题型中，该临界点的极限位置对应的取值即为所求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由解析几何中直线的斜率公式与一元二次不等式组相结合演变而来，属于高考中考查数形结合思想的经典常规填空题。 2.结论推广: 对于形如 $z=\frac{y-b}{x-a}$ 的目标函数，其几何意义为可行域内的动点 $(x,y)$ 与定点 $(a,b)$ 连线的斜率。解题时只需在可行域中寻找过定点 $(a,b)$ 的切线或边界交点，比对斜率大小即可快速锁定最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)