2005-江西卷理-11 单-坐标系中的三角形面积公式

本题导读

本题核心考查利用直角坐标系中顶点的坐标表示三角形面积，并通过三角恒等变换与解析式分析，探讨其在给定区间内达到最大值时的参数取值。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 在 $△OAB$ 中，$O$ 为坐标原点，$A(1,\cos \theta )$，$B(\sin \theta ,1)$，$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，则 $△OAB$ 的面积达到最大值时，$\theta =($\quad\quad$)$

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用平面直角坐标系中顶点均在原点时的三角形面积公式，列出 $△OAB$ 面积关于 $\theta$ 的代数式。
2. 利用二倍角公式化简面积表达式，根据 $\theta$ 的取值范围确定二倍角正弦值的范围。
3. 分析面积表达式的单调性，求出使面积取得最大值时的 $\theta$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知，三角形的一个顶点在原点 $O(0,0)$，另两点坐标分别为 $A(1,\cos \theta )$，$B(\sin \theta ,1)$。 根据平面直角坐标系中三角形的坐标面积公式 $S=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|$ 得： $S_{△OAB}=\frac{1}{2}|1\times 1-\sin \theta \cos \theta |=\frac{1}{2}|1-\sin \theta \cos \theta |$ 利用二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 化简得： $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\left|1-\frac{1}{2}\sin 2\theta \right|$ 因为 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以 $2\theta \in (0,\pi ]$，进而可知 $\sin 2\theta \in (0,1]$。 因此 $1-\frac{1}{2}\sin 2\theta >0$，去掉绝对值符号得： $S_{△OAB}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sin 2\theta$ 要使 $△OAB$ 的面积 $S$ 达到最大值，只需 $\sin 2\theta$ 取得最小值。 在 $2\theta \in (0,\pi ]$ 上，当 $2\theta =\pi$，即 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin 2\theta =0$ 达到最小值。 此时，$△OAB$ 的面积达到最大值 $S_{\max }=\frac{1}{2}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多边形坐标面积公式、三角函数求最值。
2. 核心方法：公式法与最值方向逆推法。
3. 避坑指南：本题极易产生“思维惯性”，在看到 $-\frac{1}{4}\sin 2\theta$ 时误以为要让 $\sin 2\theta$ 取最大值 $1$（从而误选 B 选项）。务必注意系数的正负号，负系数意味着整体取最大值时，三角函数部分必须取最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由解析几何中平面向量围成的平行四边形/三角形面积公式与高一三角恒等变换综合演变而来。 2.结论推广: 设平面上三点为 $O(0,0)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则由它们围成的三角形面积恒为 $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。该公式在处理已知坐标求面积或动点最值问题时极具通用性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

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