2005-江西卷理-10 单-指数函数的图象与性质

本题导读

本题核心考查不同底数的指数函数在函数值相等时，自变量之间的大小关系判定。解题关键在于引入辅助变量作为中介值，并针对中介值的不同取值范围进行严密的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 已知实数 $a,b$ 满足等式 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a={\left(\frac{1}{3}\right)}^b$，下列五个关系式： ① $0<b<a$；② $a<b<0$；③ $0<a<b$；④ $b<a<0$；⑤ $a=b$. 其中不可能成立的关系式有 ()

A. 1个　　　　　　B. 2个　　　　　　C. 3个　　　　　　D. 4个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入辅助变量 $k$，令 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a={\left(\frac{1}{3}\right)}^b=k$ ($k>0$)。
2. 将 $a,b$ 用含有 $k$ 的对数式表示出来。
3. 针对 $k=1$、$k>1$ 以及 $0<k<1$ 三种情况进行分类讨论，利用对数函数的单调性与底数性质比较 $a$ 与 $b$ 的大小，从而判定各关系式的正误。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a={\left(\frac{1}{3}\right)}^b=k$ ($k>0$)。 对等式两边取对数，可得： $a={\log }_{\frac{1}{2}}k=-{\log }_{2}k$， $b={\log }_{\frac{1}{3}}k=-{\log }_{3}k$。

根据 $k$ 的取值范围分三种情况进行讨论：

① 当 $k=1$ 时， $a=-{\log }_{2}1=0$，$b=-{\log }_{3}1=0$， 此时 $a=b=0$，关系式 ⑤ 成立。

② 当 $k>1$ 时， 由对数函数性质可知 ${\log }_{2}k>0$，${\log }_{3}k>0$。 因为底数 $2<3$，所以在 $k>1$ 时有 ${\log }_{2}k>{\log }_{3}k$。 两边同乘以 $-1$ 改变不等号方向，得 $-{\log }_{2}k<-{\log }_{3}k<0$， 即 $a<b<0$，此时关系式 ② 成立，而关系式 ④ 不可能成立。

③ 当 $0<k<1$ 时， 令 $k=\frac{1}{M}$ （其中 $M>1$），则有： $a=-{\log }_2\left(\frac{1}{M}\right)={\log }_{2}M>0$， $b=-{\log }_3\left(\frac{1}{M}\right)={\log }_{3}M>0$。 因为 $M>1$ 且底数 $2<3$，所以 ${\log }_{2}M>{\log }_{3}M>0$， 即 $a>b>0$（可写为 $0<b<a$），此时关系式 ① 成立，而关系式 ③ 不可能成立。

综上所述，可能成立的关系式有 ①、②、⑤；不可能成立的关系式有 ③、④，共有 2 个。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数与对数式的互化、对数函数图象受底数影响的相对位置关系。
2. 核心方法：引入中介常数 $k$ 法、化同底或换底比较法。
3. 避坑指南：一是容易漏掉 $k=1$ 导致 $a=b=0$ 的临界特殊情况，误判 ⑤ 为不可能成立；二是在比较 $-{\log }_{2}k$ 与 $-{\log }_{3}k$ 的大小时，容易受到负号的影响导致大小关系颠倒，可以通过画出 $y={\log }_{2}x$ 与 $y={\log }_{3}x$ 的简图直观辅助判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由人教A版必修第一册“对数函数及其性质”中关于“不同底数的幂或对数比较大小”的课后习题拓展演变而来，考查对指对函数图象深刻的直观理解。 2.结论推广: 设 $0<p<q<1$，若 $p^a=q^b=k$： 当 $k>1$ 时，有 $a<b<0$； 当 $0<k<1$ 时，有 $a>b>0$。 此结论可以通过底数的相对大小以及换底公式统一证明，常用于高考选择题中对指对数复合不等式大小的快速秒杀。

🔗【关联脉络】

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• 06.01 幂指对函数图象与性质

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