2005-江西卷理-09 单-四面体的外接球

本题导读

本题将空间折叠问题与多面体外接球的体积计算相结合。解题的关键在于抓住直角三角形斜边中点到各顶点距离相等的几何性质，发现折叠过程中球心位置的恒定性，从而规避复杂的空间坐标或距离计算。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 矩形 $ABCD$ 中，$AB=4$，$BC=3$，沿 $AC$ 将矩形 $ABCD$ 折成一个直二面角 $B-AC-D$，则四面体 $ABCD$ 的外接球的体积为 ()

A. $\frac{125}{12}\pi$　　　　　B. $\frac{125}{9}\pi$　　　　　C. $\frac{125}{6}\pi$　　　　　D. $\frac{125}{3}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析折叠前后 $△ABC$ 与 $△ADC$ 的形状特征（均为直角三角形）。
2. 利用直角三角形斜边中点到各顶点距离相等的性质，确定四面体外接球球心的位置与半径。
3. 代入球的体积公式进行计算。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

在原矩形 $ABCD$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$\angle ADC=90^{\circ }$。 设对角线 $AC$ 的中点为 $O$。 在沿 $AC$ 折叠的过程中，$△ABC$ 与 $△ADC$ 的形状和大小保持不变： 在直角 $△ABC$ 中，$OB$ 是斜边 $AC$ 上的中线，则 $OB=\frac{1}{2}AC=OA=OC$； 在直角 $△ADC$ 中，$OD$ 是斜边 $AC$ 上的中线，则 $OD=\frac{1}{2}AC=OA=OC$。

由此可知，无论将矩形沿 $AC$ 折成何种角度，始终满足 $OA=OB=OC=OD=\frac{1}{2}AC$。 因此， $AC$ 的中点 $O$ 即为四面体 $ABCD$ 的外接球球心，且外接球半径 $R=\frac{1}{2}AC$。 因为 $AB=4$，$BC=3$， 所以 $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$， 进而求得外接球半径 $R=\frac{5}{2}$。 外接球的体积为： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \times {\left(\frac{5}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \times \frac{125}{8}=\frac{125}{6}\pi$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角三角形外接圆圆心在斜边中点、多面体外接球的几何定义、球的体积公式。
2. 核心方法：数形结合下的“定长动点法（球心不变性）”。
3. 避坑指南：本题极易受到题目中“直二面角 $B-AC-D$”这一条件的干扰，误以为需要建立空间直角坐标系或求出二面角的相关射影距离。若能看穿直角三角形斜边中点的特殊性质，即可发现该折叠角度属于无关干扰项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版立体几何中“多面体与球”组合体模型中的经典结论。 2.结论推广: 若四面体 $ABCD$ 满足 $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$，则该四面体的外接球球心必为 $AC$ 的中点，外接球半径 $R=\frac{1}{2}AC$，且该结论与二面角 $\angle B-AC-D$ 的大小完全无关。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)