2005-江西卷理-07 单-导数的几何意义

本题导读

本题核心考查利用导数研究函数的单调性与极值。解题关键在于通过分析已知复合函数 $y=x{f}^{\prime }(x)$ 的图象符号，逆推出导函数 $f^{\prime }(x)$ 在各区间上的正负号，从而确定原函数 $f(x)$ 的单调区间与极值点。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 已知函数 $y=x{f}^{\prime }(x)$ 的图象如图所示（其中 $f^{\prime }(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数），下面四个图象中，$y=f(x)$ 的图象大致是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察 $y=x{f}^{\prime }(x)$ 的图象，按交点 $-1,0,1$ 划分区间，确定各区间内 $x{f}^{\prime }(x)$ 的正负号。
2. 结合自变量 $x$ 在相应区间内的正负号，剥离并判断出导函数 $f^{\prime }(x)$ 的符号。
3. 根据 $f^{\prime }(x)$ 的符号确定原函数 $f(x)$ 的单调性与极值点，进而比对选项。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由函数 $y=x{f}^{\prime }(x)$ 的图象可知： 当 $x<-1$ 时，$x{f}^{\prime }(x)<0$。因为 $x<0$，所以 $f^{\prime }(x)>0$，此时 $f(x)$ 单调递增； 当 $-1<x<0$ 时，$x{f}^{\prime }(x)>0$。因为 $x<0$，所以 $f^{\prime }(x)<0$，此时 $f(x)$ 单调递减； 当 $0<x<1$ 时，$x{f}^{\prime }(x)<0$。因为 $x>0$，所以 $f^{\prime }(x)<0$，此时 $f(x)$ 单调递减； 当 $x>1$ 时，$x{f}^{\prime }(x)>0$。因为 $x>0$，所以 $f^{\prime }(x)>0$，此时 $f(x)$ 单调递增。

综上所述，原函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 上单调递增，在 $(-1,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。 由此可知，$x=-1$ 是 $f(x)$ 的极大值点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点。 对照各个选项的图象，只有 C 选项符合上述单调性与极值点特征。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导函数的符号决定原函数的单调性（$f^{\prime }(x)>0⟺$ 递增，$f^{\prime }(x)<0⟺$ 递减）。
2. 核心方法：区间符号拆解法。
3. 避坑指南：本题最常见的错误是盲目将已知图象当成 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象来处理。必须高度警惕自变量 $x$ 本身正负号对整体因式符号的影响，特别是在 $x<0$ 的区域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题属于高考中经典的“由导函数的变形图象推断原函数图象”问题，旨在考查逻辑推理能力与数形结合思想。 2.结论推广: 设 $F(x)=x^n{f}^{\prime }(x)$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。当 $n$ 为奇数时，若要通过 $F(x)$ 的符号判断 $f^{\prime }(x)$ 的符号，在 $x<0$ 的区间必须对 $F(x)$ 的符号进行取反；当 $n$ 为偶数时，$f^{\prime }(x)$ 的符号与 $F(x)$ 的符号在 $x\ne 0$ 时完全一致。

🔗【关联脉络】

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• 20.03 导数研究单调性与极值最值

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