2005-江西卷理-05 单-三角函数的周期性

本题导读

本题考查含绝对值的三角函数的周期性判定。先分段讨论去掉绝对值，再结合正弦函数的图象分析其重复规律。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 设函数 $f(x)=\sin 3x+|\sin 3x|$，则 $f(x)$ 为 ()

A. 周期函数，最小正周期为 $\frac{\pi }{3}$　　B. 周期函数，最小正周期为 $\frac{2\pi }{3}$

C. 周期函数，最小正周期为 $2\pi$　　D. 非周期函数

🔍【思路分析】

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1. 根据绝对值的定义，对 $\sin 3x$ 的正负进行分类讨论，将原函数转化为分段函数。
2. 结合 $y=\sin 3x$ 的周期性，分析分段图象在每个周期内的形态与重复规律。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

根据绝对值的定义，可将 $f(x)$ 写为分段函数形式： $f(x)=\{\begin{array}{ll}2\sin 3x,& \sin 3x\ge 0\\ 0,& \sin 3x<0\end{array}$ 已知 $y=\sin 3x$ 的最小正周期为 $T_0=\frac{2\pi }{3}$。

在一个完整周期 $[0,\frac{2\pi }{3}]$ 内： 当 $x\in [0,\frac{\pi }{3}]$ 时，$\sin 3x\ge 0$，此时 $f(x)=2\sin 3x$（为一个放大的正弦拱形）； 当 $x\in (\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3})$ 时，$\sin 3x<0$，此时 $f(x)=0$（为一段在 $x$ 轴上的水平线段）。

这种“一拱一平”的图形随着 $y=\sin 3x$ 的周期性反复出现，且在更小的区间内不能通过平移重合。 因此，函数 $f(x)$ 是周期函数，其最小正周期等于 $y=\sin 3x$ 的周期，即 $T=\frac{2\pi }{3}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$、分段函数的构造与图象分析。
2. 核心方法：分段讨论法、数形结合法。
3. 避坑指南：本题容易误套“加绝对值后三角函数周期减半”的结论，误认为周期由 $\frac{2\pi }{3}$ 变为 $\frac{\pi }{3}$（误选 A）。应通过作图或分段讨论发现，负半轴部分取绝对值后变为 0，整个循环周期仍为原长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“三角函数的图象与性质”中关于绝对值图象变换的拓展题。 2.结论推广: 对于周期为 $T$ 且正负交替的函数 $g(x)$，形如 $F(x)=g(x)+|g(x)|$ 的函数保留正半轴、将负半轴变为 0，其最小正周期仍为 $T$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)