2005-江西卷理-03 单-直线与圆的位置关系

本题导读

本题将直线与圆的位置关系（相切）与常用逻辑用语（充要条件）相结合，核心考查点到直线距离公式的运用以及逻辑条件的多向判定能力。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） “$a=b$”是“直线 $y=x+2$ 与圆 $(x-a{)}^2+(y+b{)}^2=2$ 相切”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　　D. 既不充分又必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定圆的圆心坐标与半径，将直线方程化为一般式。
2. 利用直线与圆相切的几何条件（$d=R$）列出方程，求出相切时 $a$ 与 $b$ 满足的充要条件。
3. 对比“$a=b$”与相切的充要条件，运用逻辑推理判定其充分性与必要性。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由圆的方程 $(x-a{)}^2+(y+b{)}^2=2$ 可知，圆心为 $C(a,-b)$，半径 $R=\sqrt{2}$。 直线方程化为一般式为：$x-y+2=0$。 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离 $d$ 等于半径 $R$， 即 $d=\frac{|a-(-b)+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a+b+2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$， 两边同乘以 $\sqrt{2}$ 得：$|a+b+2|=2$。 去绝对值符号解得：$a+b=0$ 或 $a+b=-4$。 因此，直线与圆相切的充要条件是 $a+b=0$ 或 $a+b=-4$。

现在判定条件间的推导关系： ① 充分性：若 $a=b$，不能推出 $a+b=0$ 或 $a+b=-4$（例如取 $a=b=1$，则 $a+b=2$，不满足相切条件），故不充分； ② 必要性：若 $a+b=0$ 或 $a+b=-4$，不能推出 $a=b$（例如取 $a=1,b=-1$，满足 $a+b=0$ 但 $a\ne b$），故不必要。

综上所述，“$a=b$”是直线与圆相切的既不充分又必要条件。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的代数方程与几何性质、点到直线的距离公式、逻辑条件的充要判定。
2. 核心方法：几何法（通过 $d=R$ 建立代数关系式）。
3. 避坑指南：一是提取圆心坐标时容易将 $y+b$ 误认为圆心纵坐标是 $b$（正确应为 $-b$）；二是绝对值方程拆分时容易漏掉负值情况；三是判定逻辑关系时，要善于利用“特值法”寻找反例快速否定错误命题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是由人教A版经典解析几何中“直线与圆的位置关系”以及必修第一册“充分条件与必要条件”的课后习题复合改编而成，属于典型的跨章节工具性知识综合题。 2.结论推广: 直线 $Ax+By+C=0$ 与圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ 相切的充要条件为 $\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$。本题中由于直线斜率固定，其射影方向已知，相切实际上限制的是圆心在两条平行直线上的轨迹。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 02.01 常用逻辑用语

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