2005-江西卷理-02 单-复数的乘法运算

本题导读

本题核心考查复数的代数形式乘法运算以及复数为实数的充要条件，属于对基本运算能力的直接考查。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 设复数: $z_1=1+\text{i}$，$z_2=x+2\text{i}$ ($x\in \mathbf{R}$)，若 $z_1{z}_2$ 为实数，则 $x=($\quad\quad$)$

A. -2　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用复数的乘法法则将 $z_1{z}_2$ 展开，并整理为实部与虚部相分离的代数形式。
2. 根据复数为实数的条件，令其虚部等于零，建立关于 $x$ 的方程并求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $z_1=1+\text{i}$，$z_2=x+2\text{i}$， 所以 $z_1{z}_2=(1+\text{i})(x+2\text{i})=x+2\text{i}+x\text{i}+2{\text{i}}^2$。 由 ${\text{i}}^2=-1$ 整理得： $z_1{z}_2=(x-2)+(x+2)\text{i}$。 因为 $z_1{z}_2$ 为实数， 所以其虚部为 $0$，即 $x+2=0$， 解得 $x=-2$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的乘法法则 $(a+b\text{i})(c+d\text{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\text{i}$；复数 $z=a+b\text{i}(a,b\in \mathbf{R})$ 为实数的充要条件是 $b=0$。
2. 核心方法：代数式化简法与虚部置零法。
3. 避坑指南：在展开含有 $\text{i}$ 的乘积项时，极易将 $2{\text{i}}^2$ 误记为 $+2$，必须牢记 ${\text{i}}^2=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“复数的代数运算”章节中关于复数分类与运算的课后基础习题。 2.结论推广: 设复数 $z_1=a+b\text{i}$，$z_2=c+d\text{i}$（其中 $a,b,c,d\in \mathbf{R}$）。若 $z_1{z}_2\in \mathbf{R}$，则必有 $ad+bc=0$；若 $z_1{z}_2$ 为纯虚数，则必有 $ac-bd=0$ 且 $ad+bc\ne 0$。

🔗【关联脉络】

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• 12.01 数系的扩充与复数

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