2005-江西卷文-21 解-抛物线动弦的定值与轨迹

本题导读

本题考查抛物线上动弦的定值问题与重心轨迹方程。核心在于参数点坐标化并利用弦斜率与截距的固定关系。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 如图，$M$ 是抛物线 $y^2=x$ 上的一点，动弦 $ME$、$MF$ 分别交 $x$ 轴于 $A$、$B$ 两点，且 $MA=MB$．

(1) 若 $M$ 为定点，证明：直线 $EF$ 的斜率为定值；

(2) 若 $M$ 为动点，且 $\angle EMF=90^{\circ }$，求 $△EMF$ 的重心 $G$ 的轨迹方程． （图见配图）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $M=(u^2,u)$，$E=(v^2,v)$，$F=(w^2,w)$。
2. 抛物线上参数 $r$、$s$ 两点的弦斜率与 $x$ 轴截距关系。
3. 由 $MA=MB$ 得 $v+w=-2u$，进而定值；再由 $\angle EMF=90^{\circ }$ 定重心。

✅【答案】

Success

(1) $k_{EF}=-\frac{1}{2m}$（定值）；

(2) $△EMF$ 的重心 $G$ 的轨迹方程为 $x=9y^2+\frac{2}{3}$（$y\ne \pm \frac{1}{6}$）。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $M=(u^2,u)$，$E=(v^2,v)$，$F=(w^2,w)$．抛物线上参数为 $r$、$s$ 的两点连线斜率为 $\frac{1}{r+s}$，且该直线与 $x$ 轴交于 $(-rs,0)$．因此 $A=(-uv,0)$，$B=(-uw,0)$．由于 $A$、$B$ 是两个不同的交点，故 $u\ne 0$，从而 $M{A}^2=u^2\left((u+v{)}^2+1\right)$，$M{B}^2=u^2\left((u+w{)}^2+1\right)$．由 $MA=MB$ 且 $E\ne F$，得 $(u+v{)}^2=(u+w{)}^2$，故 $v+w=-2u$．于是直线 $EF$ 的斜率为 $\frac{1}{v+w}=-\frac{1}{2u}$，只由定点 $M$ 决定，为定值． (2) 由 $v+w=-2u$，令 $s=u+v$，则 $u+w=-s$．若 $s=0$，则 $v=w=-u$，与 $E\ne F$ 矛盾，故 $s\ne 0$．两弦 $ME$、$MF$ 的斜率分别为 $\frac{1}{s}$、$-\frac{1}{s}$．由 $\angle EMF=90^{\circ }$ 得 $\frac{1}{s}\cdot \left(-\frac{1}{s}\right)=-1$，即 $s^2=1$，所以 $s=\pm 1$，并且 $v=s-u$，$w=-s-u$．设重心 $G=(x_G,y_G)$，则 $x_G=\frac{u^2+(s-u{)}^2+(-s-u{)}^2}{3}=u^2+\frac{2}{3}$，$y_G=\frac{u+(s-u)+(-s-u)}{3}=-\frac{u}{3}$．消去 $u$ 得 $x_G=9y_G^2+\frac{2}{3}$，即 $y_G^2=\frac{1}{9}{x}_G-\frac{2}{27}$．由于 $A$、$B$ 为两个不同的交点，$u\ne 0$，故轨迹为 $y^2=\frac{1}{9}x-\frac{2}{27}$，其中 $x>\frac{2}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线动弦的定值与轨迹

核心方法：抛物线参数点 $(r^2,r)$：弦斜率 $\frac{1}{r+s}$、与 $x$ 轴交点 $(-rs,0)$

避坑指南：由 $MA=MB$ 得 $v+w=-2u$ 是全题枢纽；$u\ne 0$（否则 $A=B$），轨迹要挖去顶点，写 $x>\frac{2}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 抛物线

结论推广：抛物线 $y^2=2px$ 上 $(r^2,r)$、$(s^2,s)$：弦斜率 $\frac{1}{r+s}$、与 $x$ 轴交点 $(-rs,0)$

方法推广：定值与轨迹问题用参数点坐标化：条件翻译成参数方程，消参时注意参数非零的挖点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-21 解-抛物线定义与性质
• 2011-大纲卷理-21 解-椭圆焦点弦与向量
• 2010-大纲卷I理-21 解-抛物线