2005-江西卷文-18 解-向量与三角的综合化简

本题导读

本题考查平面向量数量积与三角恒等变换的综合，以及三角函数的最值、周期与单调性。核心在于利用切值恒等式化简并注意定义域对周期的影响。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 已知向量 $\vec{a}=\left(2\cos \frac{x}{2},\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right)$，$\vec{b}=\left(\sqrt{2}\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right),\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)\right)$，令 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$．求函数 $f(x)$ 的最大值、最小正周期，并写出 $f(x)$ 在 $[0,\pi ]$ 上的单调区间．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开数量积，两项分别化简。
2. 用 $\tan \left(t+\frac{\pi }{4}\right)\tan \left(t-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ 消项。
3. 化为 $f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，注意定义域挖点。

✅【答案】

Success

令t=x

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\frac{x}{2}$，在两切线都有定义时，$2\cos t\cdot \sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)=1+\sin x+\cos x$，且 $\tan \left(t+\frac{\pi }{4}\right)\tan \left(t-\frac{\pi }{4}\right)=-1$．所以在定义域 $\mathcal{D}=\left\{x\in \mathbf{R}\mid x\ne \frac{\pi }{2}+n\pi ,n\in \mathbf{Z}\right\}$ 上，$f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$． 因此 $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$．定义域中被排除的点相邻间隔为 $\pi$，故正周期须为 $\pi$ 的整数倍；又 $f(x+\pi )=-f(x)$ 而 $f(x+2\pi )=f(x)$，所以最小正周期为 $2\pi$． 在 $[0,\pi ]$ 上，$x=\frac{\pi }{2}$ 处无定义，$f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x$，故在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 和 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 上单调递减．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量与三角的综合化简

核心方法：切值恒等式 $\tan (t+\frac{\pi }{4})\tan (t-\frac{\pi }{4})=-1$ 直接消项

避坑指南：定义域 $x\ne \frac{\pi }{2}+n\pi$ 要先写——切线无定义处函数不存在；正周期因定义域挖点而被拉长为 $2\pi$ 而非 $\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角恒等变换

结论推广：$\tan (t+\frac{\pi }{4})\tan (t-\frac{\pi }{4})=-1$（分子分母展开即得）；向量点乘两项分别化简再合并为 $\sin x+\cos x$

方法推广：向量点乘两项分别化简再合并；定义域挖点会影响周期，必须用 $f(x+T)=f(x)$ 复核

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2020-新课标I文-18 解-解三角形
• 1997-全国卷理-18 填-三角函数的恒等求值
• 1996-全国卷理-18 填-两角和的正切公式