2005-江西卷文-16 填-圆锥曲线命题综合判定

本题导读

本题考查圆锥曲线命题的真假判定，以及双曲线、椭圆定义与焦点条件。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设 $A$、$B$ 为两个定点，$k$ 为非零常数，若 $||\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}||=k$，则动点 $P$ 的轨迹为双曲线； ②设圆 $C$ 上一定点 $A$，作圆的动点弦 $AB$，$O$ 为坐标原点，若 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$，则动点 $P$ 的轨迹为椭圆； ③方程 $2x^2-5x+2=0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{35}+y^2=1$ 有相同的焦点． 其中真命题的序号为$\underline{}$．（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. ①缺 $k<|AB|$，轨迹不是双曲线。
2. ②弦中点轨迹在圆内，是圆不是椭圆。
3. ③解两根 $2$ 与 $\frac{1}{2}$，分别为双、椭圆离心率。
4. ④算 $c^2$ 比较。

✅【答案】

Success

真命题的序号为③④

✍【详细解析】

Abstract

①当 $k⩾|AB|$ 时动点 $P$ 的轨迹不是双曲线（双曲线定义要求 $2a<2c$ 即 $k<|AB|$），故①假． ②由 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$ 知 $P$ 为弦 $AB$ 的中点．当 $B$ 在圆上运动时，$AB$ 的中点 $P$ 的轨迹是以 $O$ 与 $A$ 的中点、半径减半的圆，不是椭圆，故②假． ③方程 $2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)=0$ 的两根为 $\frac{1}{2}$ 与 $2$．椭圆的离心率 $e\in (0,1)$，双曲线的离心率 $e>1$，故 $\frac{1}{2}$ 可作为椭圆离心率、$2$ 可作为双曲线离心率，③真． ④双曲线 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$ 中 $c^2=25+9=34$；椭圆 $\frac{x^2}{35}+y^2=1$ 中 $c^2=35-1=34$．两者 $c^2$ 相同，故有相同的焦点，④真． 综上，真命题的序号为③④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥曲线命题综合判定

核心方法：逐条用定义/特值检验

避坑指南：①缺"$k<|AB|$"不是双曲线；②弦中点轨迹在圆内不是椭圆；④老老实实算 $c^2$：双曲线 $25+9=34$、椭圆 $35-1=34$ 相同

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 圆锥曲线与方程

结论推广：双曲线定义须"$||PA|-|PB||=2a<|AB|$"；椭圆离心率 $e<1$、双曲线 $e>1$

方法推广：圆锥曲线命题判定：定义类看限制条件是否齐全，数值类老老实实算 $c^2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-16 填-双曲线角平分线
• 2010-大纲卷I理-16 填-椭圆
• 1998-全国卷理-16 填-圆过双曲线顶点的圆心距