2005-江西卷文-13 填-奇函数定参数

本题导读

本题考查奇函数定参数，以及奇函数定义式对数化。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 若函数 $f(x)={\log }_a\left(x+\sqrt{x^2+2a^2}\right)$ 是奇函数，则 $a=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇函数 $f(-x)+f(x)=0$ 对一切定义域成立。
2. 两对数相加化为真数乘积的对数。
3. 令真数乘积为 1 解 $a$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)$ 为奇函数，对定义域内任意 $x$ 有 $f(-x)+f(x)=0$，即 ${\log }_a\left(-x+\sqrt{x^2+2a^2}\right)+{\log }_a\left(x+\sqrt{x^2+2a^2}\right)=0$．两式相加得真数乘积 $\left(x+\sqrt{x^2+2a^2}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2a^2}\right)=2a^2$，故 ${\log }_a(2a^2)=0$，即 $2a^2=1$．又对数底须 $a>0$ 且 $a\ne 1$，故 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数定参数

核心方法：$f(-x)+f(x)=0$ 化为真数乘积为 $1$

避坑指南：真数乘积 $(x+\sqrt{x^2+2a^2})(-x+\sqrt{x^2+2a^2})=2a^2$，令 $2a^2=1$；对数底须 $0<a\ne 1$，负根要舍

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 函数的基本性质

结论推广：奇函数 $f(-x)+f(x)=0$ 对一切定义域成立；${\log }_{a}M=0⟺M=1$

方法推广：含参数的对数型奇函数统一走”真数乘积为 1”路线，再按底的取值范围筛选

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷I文-13 填-对数函数
• 1991-全国卷理-13 单-奇函数的单调性
• 1987-全国卷理-13 填-点到直线的距离