2005-江西卷文-12 单-频率分布直方图与数列

本题导读

本题考查频率分布直方图的数据还原，以及等比数列与等差数列的联立求解。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图（如图）．由于不慎将部分数据丢失，但知道前 4 组的频数成等比数列，后 6 组的频数成等差数列，设最大频率为 $a$，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 $b$，则 $a$，$b$ 的值分别为() （频率分布直方图见配图）

A. $0.27,78$　　　　B. $0.27,83$　　　　C. $2.7,78$　　　　D. $2.7,83$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设第 4 组（最高柱）频数 $x{q}^3=27$。
2. 前 4 组等比 $1,3,9,27$（公比 3）。
3. 由 $b=78$ 解等差公差 $d=-5$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设第 4 组为等比数列的末项、同时是等差数列的首项（第 4 组衔接”前 4 组”与”后 6 组”，共 9 组）．由图最大组在第 4 组（4.6 $\sim$ 4.7），且最大频率 $a$ 应为 $0.27$（$2.7$ 超过 1 舍去），故第 4 组频数为 $27$．前 4 组成等比且频数为正整数，得 $1,3,9,27$（公比 3）．设等差公差为 $d$，则第 4 组起后 6 组为 $27,27+d,\cdots ,27+5d$，总频数 $1+3+9+6\times 27+15d=100$，解得 $d=-5$．故后 6 组为 $27,22,17,12,7,2$．视力在 4.6 到 5.0 之间为第 4、5、6、7 组，学生数 $b=27+22+17+12=78$．所以 $a=0.27$，$b=78$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布直方图与数列

核心方法：设前 3 组 $1,3,9$、第 4 组起等差 $27,22,17,12,7,2$

避坑指南：频数是正整数是隐含约束——靠它锁定等比公比 $3$ 与等差公差 $-5$；“前 4 组+后 6 组”在第 4 组衔接，共 9 组

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 3 统计

结论推广：频率分布直方图中各组频率 $=$ 纵坐标 $\times$ 组距；频数为正整数是隐含的方程约束

方法推广：直方图与数列结合题：先用”频数整数”锁定等比/等差的参数，再按题意读区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷I理-12 单-数列综合
• 2020-新课标III文-17 解-数列求和