2005-江西卷文-03 单-二项式整数次幂项计数

本题导读

本题考查二项式定理中含 $x$ 的正整数次幂项的计数，以及通项公式指数的配平。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） ${\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)}^{12}$ 的展开式中，含 $x$ 的正整数次幂的项共有()

A. 4 项　　　　　B. 3 项　　　　　C. 2 项　　　　　D. 1 项

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{12}^k{x}^{6-\frac{k}{6}}$。
2. 令 $6-\frac{k}{6}$ 为正整数解 $k$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{12}^k{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{12-k}{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^k={\mathrm{C}}_{12}^k{x}^{6-\frac{k}{6}}$，$k=0,1,\cdots ,12$．要使 $6-\frac{k}{6}$ 为正整数，$k$ 须为 $6$ 的倍数且 $6-\frac{k}{6}⩾1$，即 $k=0,6,12$，对应指数 $6,5,4$．故含 $x$ 的正整数次幂的项共有 3 项，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式整数次幂项计数

核心方法：通项指数 $6-\frac{k}{6}$ 为正整数解 $k$

避坑指南：正整数次幂不含 $0$ 次幂；$k$ 只能取 $0,6,12$，别把 $x^0$ 情形（本题不存在）误计

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 二项式定理

结论推广：$(x^{1/2}+x^{1/3}{)}^{12}$ 通项指数 $6-\frac{k}{6}$；正整数次幂对应 $k\in \{0,6,12\}$

方法推广：指数配平问题统一令通项指数为整数解 $k$，再按”正整数/非负整数”口径筛选

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-03 单-二项式系数
• 2005-全国卷III理-03 单-二项式定理
• 2014-大纲卷理-13 填-二项式展开式通项