2005-江苏卷-23 解-数列递推与数学归纳法

本题导读

本题是2005年江苏高考数学卷的压轴题。第一问通过特殊值代入构造方程组，利用待定系数法确定常数；第二问通过递推变形，结合数学归纳法求出前 $n$ 项和 $S_n$ 的显式表达，进而证明等差数列；第三问将代数不等式的证明转化为无理式比较，巧妙运用均值不等式进行线性放缩，从而简化证明过程。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_1=1,a_2=6,a_3=11$，且 $(5n-8)S_{n+1}-(5n+2)S_n=An+B,n=1,2,3,\cdots$ 其中 $A,B$ 为常数.

(1) 求 $A$ 与 $B$ 的值；

(2) 证明数列 $\{a_n\}$ 为等差数列；

(3) 证明不等式 $\sqrt{5a_{mn}}-\sqrt{a_m{a}_n}>1$ 对任何正整数 $m,n$ 都成立.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问逻辑：已知 $a_1,a_2,a_3$，可直接算出 $S_1,S_2,S_3$。分别令 $n=1$ 和 $n=2$ 代入已知递推式，建立关于 $A,B$ 的二元一次方程组求解。
2. 第二问逻辑：将 $A,B$ 代入递推式并变形为 $\frac{S_{n+1}}{5n+2}=\frac{S_n-4}{5n-8}$。观察前几项猜测 $S_n=\frac{n(5n-3)}{2}$，利用数学归纳法严格证明此通项，再通过 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求出 $a_n$，利用相邻项差为常数完成等差数列的证明。
3. 第三问逻辑：将通项 $a_n=5n-4$ 代入待证不等式，移项并两边平方，转化为证明 $20(m+n)-37>2\sqrt{(5m-4)(5n-4)}$。利用均值不等式对右边根式进行放大：$2\sqrt{(5m-4)(5n-4)}\le 5(m+n)-8$，再证明左边大式显著大于该上界即可。

✅【答案】

Success

(1) $A=-20,B=-8$； (2) 见解析（$a_n=5n-4$，为等差数列）； (3) 见解析（不等式得证）。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $A$ 与 $B$ 的值 由已知得：$S_1=a_1=1$，$S_2=a_1+a_2=7$，$S_3=a_1+a_2+a_3=18$。 在已知递推式中： 当 $n=1$ 时，$-3S_2-7S_1=A+B⟹-3(7)-7(1)=A+B⟹A+B=-28$。 当 $n=2$ 时，$2S_3-12S_2=2A+B⟹2(18)-12(7)=2A+B⟹2A+B=-48$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}A+B=-28\\ 2A+B=-48\end{array}$ 解得：$A=-20,B=-8$。

(2) 证明数列 $\{a_n\}$ 为等差数列 将 $A=-20,B=-8$ 代入原递推式，得： $(5n-8)S_{n+1}-(5n+2)S_n=-20n-8=-4(5n+2)$ 移项变形为：$(5n-8)S_{n+1}=(5n+2)(S_n-4)$。 由于 $n$ 为正整数，$5n-8\ne 0$，两边同除以 $(5n-8)(5n+2)$ 得： $\frac{S_{n+1}}{5n+2}=\frac{S_n-4}{5n-8}$ 下面用数学归纳法证明 $S_n=\frac{n(5n-3)}{2}$： ① 当 $n=1$ 时，$S_1=1=\frac{1\times (5-3)}{2}$，命题成立。 ② 假设当 $n=k$ ($k\ge 1$) 时命题成立，即 $S_k=\frac{k(5k-3)}{2}$。 则 $S_k-4=\frac{5k^2-3k-8}{2}=\frac{(5k-8)(k+1)}{2}$。 当 $n=k$ 时，根据递推关系有： $S_{k+1}=(5k+2)\cdot \frac{S_k-4}{5k-8}=(5k+2)\cdot \frac{(5k-8)(k+1)}{2(5k-8)}=\frac{(k+1)(5k+2)}{2}=\frac{(k+1)[5(k+1)-3]}{2}$ 这表明当 $n=k+1$ 时命题也成立。 由①②可知，对任意正整数 $n$ 均有 $S_n=\frac{n(5n-3)}{2}$。

当 $n\ge 2$ 时： $a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{5n^2-3n}{2}-\frac{5(n-1{)}^2-3(n-1)}{2}=5n-4$ 当 $n=1$ 时，$a_1=1=5(1)-4$ 满足上式。 故 $a_n=5n-4$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。 因为 $a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-4]-(5n-4)=5$（常数）， 所以数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公差为 $5$ 的等差数列。

(3) 证明不等式 $\sqrt{5a_{mn}}-\sqrt{a_m{a}_n}>1$ 由 (2) 知 $a_n=5n-4$，则 $a_{mn}=5mn-4$。 欲证原不等式成立，即证： $\sqrt{5(5mn-4)}-\sqrt{(5m-4)(5n-4)}>1⟺\sqrt{25mn-20}>1+\sqrt{(5m-4)(5n-4)}$ 因两边均为正数，平方得等价形式： $25mn-20>1+(25mn-20m-20n+16)+2\sqrt{(5m-4)(5n-4)}$ 化简整理得： $20(m+n)-37>2\sqrt{(5m-4)(5n-4)}$ 由均值不等式（AM-GM）知： $2\sqrt{(5m-4)(5n-4)}\le (5m-4)+(5n-4)=5(m+n)-8$ 因为 $m,n$ 均为正整数，所以 $m\ge 1,n\ge 1⟹m+n\ge 2$。 从而有： $[20(m+n)-37]-[5(m+n)-8]=15(m+n)-29\ge 15\times 2-29=1>0$ 因此： $20(m+n)-37>5(m+n)-8\ge 2\sqrt{(5m-4)(5n-4)}$ 故等价的不等式成立，原命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：本题考查利用待定系数法确定递推式常数，利用数学归纳法严密推导 $S_n$ 与 $a_n$ 的对应通项，以及结合均值不等式进行合理放缩。
2. 核心方法：构造法与变形归纳是处理复杂通项的利器；在处理无理不等式证明时，移项平方后使用基本不等式线性化放缩是最高效的去根式手段。
3. 避坑指南：第(2)问中，很多学生在化简出 $\frac{S_{n+1}}{5n+2}=\frac{S_n-4}{5n-8}$ 后，由于无法直接写成等差或等比形式而陷入僵局。此时应当通过前几项归纳出猜想，并借助数学归纳法完成严密逻辑闭环。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于对一阶非齐次变系数递推关系 $f(n)S_{n+1}-g(n)S_n=h(n)$ 的考查。其高等数学背景关联着差分方程的求解。命题人通过精妙设计设计了系数 $5n-8$ 与 $5n+2$ 的对应消项关系，使原本极为复杂的非线性递推在特定代数特征下能通过归纳法简洁解决。 2.结论推广: 若数列 $\{a_n\}$ 满足 $(dn-b)S_{n+1}-(dn+d-b)S_n=An+B$，通过特定的待定系数选择，该类递推式均可化为等差数列。对于第三问，可一般化推广为：对任意等差数列 $a_n=dn+c$ ($d>0,c<0$)，在特定系数缩放下均存在一类形如 $\sqrt{\alpha a_{mn}}-\sqrt{a_m{a}_n}>\beta$ 的对偶无理不等式链。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练 (Links)