2005-江苏卷-22 解-绝对值函数与导数最值

本题导读

本题是一道集绝对值、导数单调性、区间最值于一体的综合压轴题。第一问考查特定参数值下的绝对值方程求解，关键在于分区间去绝对值并严谨检验解的范围；第二问考查含参闭区间最值问题，核心在于依据参数 $a$ 与区间 $[1,2]$ 以及导数零点的相对位置进行多层次分类讨论，具有较高的逻辑严密性要求。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 已知 $a\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=x^2|x-a|$.

(1) 当 $a=2$ 时，求 $f(x)=x$ 成立的 $x$ 的集合；

(2) 求函数 $y=f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问逻辑：将 $a=2$ 代入原式，分离出显而易见的解 $x=0$。对 $x\ne 0$ 的部分，以 $x=2$ 为分界点去掉绝对值符号，分别求解两个一元二次方程，并严格验证所得解是否在对应的讨论区间内。
2. 第二问逻辑：自变量限制在闭区间 $[1,2]$。绝对值符号的打开取决于 $a$ 与 $x$ 的相对大小。根据临界点将参数 $a$ 划分为 $a\le 1$、$1<a<2$ 以及 $a\ge 2$ 三种大情况。在 $a\ge 2$ 的情况下，求导发现极值点 $\frac{2a}{3}$ 介入，使函数呈现先增后减趋势，最小值必在两端点取得，此时需进一步通过作差法比较端点值大小。

✅【答案】

Success

函数 $y=f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上的最小值为：$$f_{\min} = \begin{cases} 1 - a, & a \le 1 \ 0, & 1 < a < 2 \ 4a - 8, & 2 \le a < \frac{7}{3} \ a - 1, & a \g

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=2$ 时，方程为 $x^2|x-2|=x$。 显然 $x=0$ 是方程的解。 当 $x\ne 0$ 时，方程两边同除以 $x$，得 $x|x-2|=1$。

• ① 当 $x\ge 2$ 时，方程化为 $x(x-2)=1$，即 $x^2-2x-1=0$，解得 $x=1+\sqrt{2}$ 或 $x=1-\sqrt{2}$。因为 $x\ge 2$，故 $x=1-\sqrt{2}$ 舍去，留 $x=1+\sqrt{2}$。
• ② 当 $x<2$ 且 $x\ne 0$ 时，方程化为 $x(2-x)=1$，即 $x^2-2x+1=0$，解得 $x=1$。经检验符合条件。 综上所述，使 $f(x)=x$ 成立的 $x$ 的集合为 $\{0,1,1+\sqrt{2}\}$。

(2) 当 $x\in [1,2]$ 时，函数 $f(x)\ge 0$ 恒成立。下面对参数 $a$ 进行分类讨论：

• ① 当 $a\le 1$ 时，对任意 $x\in [1,2]$ 均有 $x\ge a$，此时 $f(x)=x^2(x-a)=x^3-a{x}^2$。 求导得 $f^{\prime }(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)$。 由于 $x\in [1,2]$ 且 $a\le 1$，可知 $3x\ge 3$ 且 $2a\le 2$，从而 $3x-2a>0$，故 $f^{\prime }(x)>0$。 所以 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增，其最小值为 $f(1)=1-a$。
• ② 当 $1<a<2$ 时，存在 $x=a\in (1,2)$ 使得 $f(a)=0$。 由于 $f(x)=x^2|x-a|\ge 0$ 恒成立，因此其最小值为 $0$。
• ③ 当 $a\ge 2$ 时，对任意 $x\in [1,2]$ 均有 $x\le a$，此时 $f(x)=x^2(a-x)=a{x}^2-x^3$。 求导得 $f^{\prime }(x)=2ax-3x^2=x(2a-3x)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$ 得极值点 $x=\frac{2a}{3}$。由 $a\ge 2$ 知 $\frac{2a}{3}\ge \frac{4}{3}>1$。 当 $x\in (1,\frac{2a}{3})$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，当 $x\in (\frac{2a}{3},2)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$。 不论极值点是否在区间内，函数在 $[1,2]$ 上均呈现先增后减（或单调递增）的形态，故最小值必在端点 $x=1$ 或 $x=2$ 处取得。 计算端点值：$f(1)=a-1$，$f(2)=4(a-2)=4a-8$。 作差比较：$f(1)-f(2)=(a-1)-(4a-8)=7-3a$。
• 当 $2\le a<\frac{7}{3}$ 时，$7-3a>0⟹f(1)>f(2)$，最小值为 $4a-8$；
• 当 $a\ge \frac{7}{3}$ 时，$7-3a\le 0⟹f(1)\le f(2)$，最小值为 $a-1$。

综上所述，函数 $y=f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上的最小值为： $f_{\min }=\{\begin{array}{ll}1-a,& a\le 1\\ 0,& 1<a<2\\ 4a-8,& 2\le a<\frac{7}{3}\\ a-1,& a\ge \frac{7}{3}\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数工具在含参函数单调性与最值讨论中的应用，绝对值符号的分段剥离。
2. 核心方法：零点分段讨论法、极值点动态定位法、闭区间两端点值作差比较法。
3. 避坑指南：第(1)问中极易忽视 $x=0$ 这一特殊解，导致集合漏解；第(2)问在 $a\ge 2$ 的分支中，学生极易误认为最小值直接由固定单调性决定，而忽略了需要比较两个端点 $f(1)$ 与 $f(2)$ 的大小，导致遗漏关键分界点 $a=\frac{7}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题改编自常见的高中数学导数含参最值习题，其高等数学背景为魏尔斯特拉斯最大值/最小值定理（连续函数在紧集上必能达到最值）。通过引入绝对值函数，增强了函数在拐点 $x=a$ 处的不可导性，重点考查分段光滑函数的全局最值分析。 2.结论推广: 可将本题一般化推广为：求函数 $f(x)=x^m|x-a{|}^n$ ($m,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 在给定闭区间 $[t_1,t_2]$ 上的最值。其核心讨论依据依然为零点 $x=a$ 与导数零点（即极值点）$x=\frac{ma}{m+n}$ 与区间边界的相对位置。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)