2005-江苏卷-21 解-空间线线角与线面垂直

本题导读

本题是以五棱锥为载体的空间立体几何综合题。第一问通过证明底面局部平行关系，将异面直线问题转化为共面线线角问题；第二问通过平面多边形的内角和性质推导线线垂直，进而证明线面垂直；第三问考查二面角的计算，由于明确说明不需写出过程，使用空间向量法建立坐标系可以极其精准、高效地直接锁定最终答案。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 如图，在五棱锥 $S-ABCDE$ 中，$SA\perp$ 底面 $ABCDE$，$SA=AB=AE=2$，$BC=DE=\sqrt{3}$，$\angle BAE=\angle BCD=\angle CDE=120^{\circ }$.

(1) 求异面直线 $CD$ 与 $SB$ 所成的角；（用反三角函数值表示）

(2) 证明：$BC\perp$ 平面 $SAB$；

(3) 用反三角函数值表示二面角 $B-SC-D$ 的大小.（本小问不必写出解答过程）

🔍【思路分析】

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1. 第一问逻辑：在平面 $ABCDE$ 中，由 $AB=AE=2$ 且 $\angle BAE=120^{\circ }$ 可知 $BE=2\sqrt{3}$。结合 $BC=DE=\sqrt{3}$ 且 $\angle BCD=\angle CDE=120^{\circ }$，可证四边形 $BCDE$ 为等腰梯形，从而有 $CD\parallel BE$。因此，异面直线 $CD$ 与 $SB$ 所成的角即为直线 $BE$ 与 $SB$ 所成的角（或其补角），在 $△SBE$ 中求解该角即可。
2. 第二问逻辑：要证 $BC\perp$ 平面 $SAB$，只需在平面 $SAB$ 内找两条相交直线与 $BC$ 垂直。由 $SA\perp$ 底面 $ABCDE$ 可直接得 $SA\perp BC$。再利用第一问中等腰梯形性质算出 $\angle ABC=90^{\circ }⟹BC\perp AB$，即可完成证明。
3. 第三问逻辑：本小问只需直接写出答案。可通过建立以 $BE$ 的中点为原点的空间直角坐标系，写出各关键点的坐标，进而求出平面 $SBC$ 与平面 $SCD$ 的法向量，利用法向量夹角公式直接求出二面角的余弦值，并结合图形判定其为钝角。

✅【答案】

Success

所以BC⟂SA

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求异面直线 $CD$ 与 $SB$ 所成的角 在简支底面五边形中，连结 $BE$。 因为 $AB=AE=2,\angle BAE=120^{\circ }$， 所以 $△ABE$ 是等腰三角形，可得 $BE=2\times 2\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}$，且 $\angle ABE=\angle AEB=30^{\circ }$。 在四边形 $BCDE$ 中，$BC=DE=\sqrt{3},\angle BCD=\angle CDE=120^{\circ }$。 易知四边形 $BCDE$ 是等腰梯形，且 $CD\parallel BE$。 因此，异面直线 $CD$ 与 $SB$ 所成的角就是 $SB$ 与 $BE$ 所成的角 $\angle SBE$（或其补角）。 因为 $SA\perp$ 平面 $ABCDE$，所以 $SA\perp AB,SA\perp AE$。 在 $\text{Rt}△SAB$ 和 $\text{Rt}△SAE$ 中，由于 $SA=AB=AE=2$，可得 $SB=SE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。 在 $△SBE$ 中，取 $BE$ 的中点 $M$，连结 $SM$，则 $SM\perp BE$。 在 $\text{Rt}△SMB$ 中，$BM=\frac{1}{2}BE=\sqrt{3},SB=2\sqrt{2}$， 所以 $\cos \angle SBE=\frac{BM}{SB}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。 故异面直线 $CD$ 与 $SB$ 所成的角为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{4}$。

(2) 证明：$BC\perp$ 平面 $SAB$ 由 (1) 知四边形 $BCDE$ 为等腰梯形，其中 $\angle EBC=180^{\circ }-\angle BCD=60^{\circ }$。 因为 $\angle ABE=30^{\circ }$，所以 $\angle ABC=\angle ABE+\angle EBC=30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$，即 $BC\perp AB$。 又因为 $SA\perp$ 平面 $ABCDE$，且 $BC\subset$ 平面 $ABCDE$， 所以 $SA\perp BC$。 因为 $AB\cap SA=A$，且 $AB,SA\subset$ 平面 $SAB$， 所以 $BC\perp$ 平面 $SAB$。

(3) 用反三角函数值表示二面角 $B-SC-D$ 的大小 $\arccos \left(-\frac{7\sqrt{82}}{82}\right)$ 或 $\pi -\arccos \frac{7\sqrt{82}}{82}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：本题重点考查空间线线角、线面垂直判定以及面面角的度量。
2. 核心方法：通过平面几何的计算发现隐含的平行（如 $CD\parallel BE$）与垂直（如 $AB\perp BC$）是解决立几大题几何法的关键。
3. 避坑指南：第(3)问由于不需要写出过程，极易在口算或者草稿纸上计算向量夹角时，误将二面角写成锐角 $\arccos \frac{7\sqrt{82}}{82}$。必须通过直观几何形体观察，发现平面 $SBC$ 与平面 $SCD$ 围成的内侧二面角为钝角，从而及时修正符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由常规的四棱锥综合题拓展而来，命题人通过在底面增加一个三角形 $△ABE$，构成了一个非规则的五棱锥。其骨架依然是典型的“线面垂直”结合“等腰三角形”的稳定构型，要求学生具备扎实的平面几何解析能力。 2.结论推广: 若将底面拓展为任意具有轴对称特征的多边形，只要保证侧棱 $SA$ 垂直于底面且位于对称轴上，任意关于该轴对称的侧面与相邻侧面所成的二面角，均可通过建立空间直角坐标系实现标准化、程序化的向量法求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)