2005-江苏卷-19 解-平面直角坐标系的建立

本题导读

本题考查通过建立平面直角坐标系求解动点轨迹方程的方法。核心意图是利用圆的切线长几何特征（直角三角形勾股定理），将几何比例关系转化为坐标代数方程并进行化简。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 如图，圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 的半径都是 1，$O_1{O}_2=4$，过动点 $P$ 分别作圆 $O_1$、圆 $O_2$ 的切线 $PM$、$PN$ ($M$、$N$ 分别为切点)，使得 $PM=\sqrt{2}PN$. 试建立适当的坐标系，并求动点 $P$ 的轨迹方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：以两圆心连线 $O_1{O}_2$ 为 $x$ 轴，线段 $O_1{O}_2$ 的中点为原点建立直角坐标系，确定两圆心的具体坐标。
2. 转化几何条件：连接 $O_{1}M$ 和 $O_{2}N$，利用切线垂直于半径的性质，在 Rt$△PM{O}_1$ 和 Rt$△PN{O}_2$ 中通过勾股定理将切线长 $PM,PN$ 用点 $P(x,y)$ 的坐标表示。
3. 列式化简：将代数式代入已知关系 $P{M}^2=2P{N}^2$，展开、移项并合并同类项，求出最终的轨迹方程。

✅【答案】

Success

以线段 $O_1{O}_2$ 的中点为原点、$O_1{O}_2$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则动点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2-12x+3=0$（即 $(x-6{)}^2+y^2=33$）。

✍【详细解析】

Abstract

解：以线段 $O_1{O}_2$ 的中点为原点 $O$，以 $O_1{O}_2$ 所在的直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系。 因为 $O_1{O}_2=4$，且两圆半径均为 1， 所以两圆心坐标分别为 $O_1(-2,0)$， $O_2(2,0)$。

设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。 连接 $O_{1}M,O_{2}N$，因为 $PM,PN$ 分别是圆 $O_1,O_2$ 的切线， 所以 $O_{1}M\perp PM,O_{2}N\perp PN$。 在 Rt$△PM{O}_1$ 中，由勾股定理得： $P{M}^2=P{O}_1^2-O_1{M}^2=(x+2{)}^2+y^2-1^2=(x+2{)}^2+y^2-1$ 在 Rt$△PN{O}_2$ 中，由勾股定理得： $P{N}^2=P{O}_2^2-O_2{N}^2=(x-2{)}^2+y^2-1^2=(x-2{)}^2+y^2-1$

因为 $PM=\sqrt{2}PN⟹P{M}^2=2P{N}^2$， 将上述两式代入数量关系中，得： $(x+2{)}^2+y^2-1=2\left[(x-2{)}^2+y^2-1\right]$ 展开并整理等式两边： $x^2+4x+4+y^2-1=2(x^2-4x+4+y^2-1)$ $x^2+y^2+4x+3=2x^2+2y^2-8x+6$ 移项合并同类项，得： $x^2+y^2-12x+3=0$

经检验，该轨迹圆 $(x-6{)}^2+y^2=33$ 包含圆 $O_2$ 且与圆 $O_1$ 外离，动点 $P$ 恒在两圆外部，切线必然存在。 故动点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2-12x+3=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切线长公式 $l^2=d^2-r^2$，利用坐标法求解平面动点轨迹方程。
2. 核心方法：解几建系法。通过寻找图形的对称轴建立标准直角坐标系，能够最大限度地简化方程展开时的交叉项。
3. 避坑指南：切勿直接去设切点 $M,N$ 的坐标。 $M,N$ 均为随 $P$ 点变化而变化的未知动点，直接引入会造成变量过多导致无法消元。利用直角三角形将切线长转化为点到圆心的距离（即两点间距离公式）是本题唯一的突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于经典的阿波罗尼斯圆（Apollonius Circle）性质的变形。传统的阿氏圆研究的是动点到两定点距离成固定比例的轨迹，而本题融入了圆半径的平方修正，本质上仍是通过距离平方项的线性组合构造出新的圆方程。
2. 结论推广：设圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 的半径分别为 $r_1,r_2$，当动点 $P$ 对两圆的切线长满足 $PM=k\cdot PN$ （$k>0$ 且 $k\ne 1$）时，其轨迹在两圆外部的部分恒为一个圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 17.06 圆的切线与极点极线
• 17.02 阿波罗尼斯圆

类题演练 (Links)