2005-江苏卷-18 填-平面向量的线性运算

本题导读

本题考查平面向量数量积的极值问题。核心意图是利用三角形中线的向量性质进行整体代换，将多变量的向量运算转化为单一方向上的标量代数二次函数求最值问题。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 在 $△ABC$ 中， $O$ 为中线 $AM$ 上的一个动点，若 $AM=2$，则 $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用中点性质化简：因为 $AM$ 是中线，所以 $M$ 是 $BC$ 的中点，根据向量的加法规则有 $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$。
2. 转化为单变量问题：由于 $A,O,M$ 三点共线，可设 $AO=x$ ($0\le x\le 2$)，将向量数量积转化为关于 $x$ 的二次函数。
3. 求解最值：利用二次函数的顶点公式直接求出最小值。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $AM$ 是 $△ABC$ 的中线，所以 $M$ 是 $BC$ 的中点。 根据平面向量的中点性质，对于平面内任意一点 $O$，恒有： $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$ 将此代换关系代入待求式中，得： $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OA}\cdot (2\overrightarrow{OM})=2(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM})$ 因为点 $O$ 在中线 $AM$ 上，所以 $A,O,M$ 三点共线。 设 $O$ 到点 $A$ 的距离为 $x$，因为 $AM=2$，所以 $0\le x\le 2$。 此时，向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OM}$ 方向相反，其模长分别为： $|\overrightarrow{OA}|=x,|\overrightarrow{OM}|=2-x$ 由于两向量反向，它们的夹角为 $\pi$，则数量积为： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot \cos \pi =x(2-x)\cdot (-1)=x^2-2x$ 因此，原式可化为关于 $x$ 的一元二次函数： $f(x)=2(x^2-2x)=2x^2-4x(0\le x\le 2)$ 对二次函数配方得： $f(x)=2(x-1{)}^2-2$ 因为 $x=1\in [0,2]$，所以当 $x=1$（即 $O$ 为 $AM$ 的中点）时，函数取得最小值，最小值为 $-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中点平行四边形法则的向量形式 $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$，共线向量的数量积运算。
2. 核心方法：中点代换法与一维坐标参数化法。通过引入距离变量 $x$，成功将平面向量的几何最值归结为一元二次函数的最值问题。
3. 避坑指南：一是容易忽视 $M$ 是 $BC$ 中点这一隐含条件，从而盲目建系或拆分向量导致运算混乱；二是计算反向向量的数量积时容易漏掉夹角余弦值 $\cos \pi =-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中平面向量基本定理以及数量积运算的综合应用，通过“中线”这一几何纽带，将向量的线性组合与一元二次函数交汇。
2. 结论推广：在任意线段 $AB$ 中，若 $O$ 为线段 $AB$ 上一动点， $N$ 为 $AB$ 的中点，则对于线段两端点向量有恒等式 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{ON}{|}^2-|\overrightarrow{AN}{|}^2$。当 $O$ 与中点 $N$ 重合时，数量积取得最小值 $-|\overrightarrow{AN}{|}^2=-\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^2$。本题中 $2(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM})$ 的最小值即为 $2\times \left(-\frac{1}{4}A{M}^2\right)=2\times \left(-\frac{1}{4}\times 4\right)=-2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积
• 11.06 中线模型与衍生恒等式 类题演练 (Links)
• 2006-全国卷II理-14 填-三角形中线的向量性质与数量公式
• 2012-浙江卷(理)-15 填-向量的数量积