2005-江苏卷-17 填-复合函数与待定系数法

本题导读

本题考查复合函数的解析式与待定系数法，核心在于将 $ax+b$ 代入 $f(x)$ 后展开，再与目标式逐项比较系数求出 $a,b$，最后代入 $5a-b$。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 已知 $a,b$ 为常数，若 $f(x)=x^2+4x+3$，$f(ax+b)=x^2+10x+24$，则 $5a-b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将 $ax+b$ 整体代入 $f(x)$，展开成关于 $x$ 的二次式。
2. 与目标式 $x^2+10x+24$ 逐项比较系数，列出关于 $a,b$ 的方程组。
3. 解出 $a,b$ 的可能取值，代入 $5a-b$ 求值。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

将 $ax+b$ 代入 $f(x)=x^2+4x+3$，得： $f(ax+b)=(ax+b{)}^2+4(ax+b)+3=a^2{x}^2+(2ab+4a)x+(b^2+4b+3)$

与 $f(ax+b)=x^2+10x+24$ 比较系数，得： $\{\begin{array}{l}{a}^2=1\\ 2a(b+2)=10\\ b^2+4b+3=24\end{array}$

由 $a^2=1$ 得 $a=1$ 或 $a=-1$。

• 当 $a=1$ 时，由 $2(b+2)=10$ 得 $b=3$，此时 $5a-b=5-3=2$；
• 当 $a=-1$ 时，由 $-2(b+2)=10$ 得 $b=-7$，此时 $5a-b=-5+7=2$。

两组取值均满足常数项条件 $b^2+4b+3=24$，且所求 $5a-b$ 均为 $2$。

所以 $5a-b=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数解析式的展开、待定系数法比较系数。
2. 核心方法：整体代入展开后逐项比较系数。
3. 避坑指南：一是展开 $(ax+b{)}^2+4(ax+b)+3$ 时勿漏掉一次项系数 $2ab+4a$ 中 $4a$ 这一项；二是 $a^2=1$ 有两个解，需分 $a=\pm 1$ 讨论，但两种情形下 $5a-b$ 的值相同，最终结果唯一。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中函数复合与待定系数法的基本训练，是“已知复合函数求参数”的经典题型。
2. 结论推广：一般地，若 $f(x)=x^2+px+q$，$f(ax+b)=A{x}^2+Bx+C$，则由最高次项系数 $a^2=A$ 先定 $|a|$，再由一次项系数 $2ab+pa=B$ 与常数项 $b^2+pb+q=C$ 联立求解 $a,b$，若 $a$ 有两解需分别验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)