2005-江苏卷-16 填-指数函数的单调性

本题导读

本题考查指数函数的单调性与不等式性质。核心意图是利用底数大于 1 的指数函数的单调性，将已知常数夹逼在相邻的整数次幂之间，从而确定自变量所在的区间位置。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 若 $3^a=0.618,a\in [k,k+1),k\in \mathbf{Z}$, 则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找边界：观察已知常数 $0.618$，寻找与底数 3 相关的相邻整数次幂。
2. 夹逼求解：利用 $\frac{1}{3}<0.618<1$ 得到 $3^{-1}<3^a<3^0$，进而根据单调性确定 $a$ 的取值范围。
3. 确定参数：对比区间 $[k,k+1)$ 确定整数 $k$ 的值。

✅【答案】

Success

-1

✍【详细解析】

Abstract

因为底数 $3>1$，所以 exponential 函数 $y=3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 易知： $3^{-1}=\frac{1}{3}\approx 0.333$ $3^0=1$ 因为 $0.333<0.618<1$， 所以有： $3^{-1}<3^a<3^0$ 根据指数函数的单调递增性质，脱去底数得： $-1<a<0$ 又因为 $a\in [k,k+1)$ 且 $k\in \mathbf{Z}$， 对比区间可知 $a\in [-1,0)$， 因此， $k=-1$。

答案：-1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：底数大于 1 的指数型不等式的解法，以及左闭右开区间的对应规则。
2. 核心方法：相邻整数次幂夹逼法。
3. 避坑指南：一是要准确找出 $3^{-1}$ 与 $3^0$ 作为夹逼边界；二是注意题目要求 $a\in [k,k+1)$，在确定 $-1<a<0$ 后，其左端点边界对应的整数 $k$ 必须是 $-1$，切勿因惯性思维误填为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中关于指数函数图像与性质的基本练习题，将黄金分割比近似值 $0.618$ 作为函数值引入，增强了数感与估值能力的考查。
2. 结论推广：对于函数 $y=a^x$ ($a>1$)，若已知 $a^x=m$，且满足 $a^k\le m<a^{k+1}$ ($k\in \mathbf{Z}$)，则 $x$ 所处的左闭右开整数区间 $[k,k+1)$ 的左端点恒为 $k=\lfloor {\log }_{a}m\rfloor$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)