2005-江苏卷-14 填-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义及其在求曲线切线方程中的应用。核心意图是利用导数计算切线斜率，并通过点斜式方程完成直线方程的求解。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 曲线 $y=x^3+x+1$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算切线斜率：对函数求导，利用导数的几何意义将切点横坐标 $x=1$ 代入导函数，求出切线斜率 $k$。
2. 求解切线方程：已知切点坐标为 $(1,3)$，利用直线的点斜式方程公式列出方程并化简。

✅【答案】

Success

4x - y - 1 = 0 (或 y = 4x - 1)

✍【详细解析】

Abstract

设函数 $f(x)=x^3+x+1$。 对 $f(x)$ 求导，得其导函数为： $f^{\prime }(x)=3x^2+1$ 将切点横坐标 $x=1$ 代入导函数，得该点处的切线斜率 $k$ 为： $k=f^{\prime }(1)=3\times 1^2+1=4$ 由于切线过点 $(1,3)$，由直线的点斜式方程得： $y-3=4(x-1)$ 化简整理为一般式方程得： $4x-y-1=0$ （或写成斜截式方程： $y=4x-1$） 答案：4x - y - 1 = 0 (或 y = 4x - 1)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数在某点处的导数值即为该点处切线的斜率，直线的一般式与斜截式表达。
2. 核心方法：先求导确定斜率，再联立切点坐标使用点斜式写出方程。
3. 避坑指南：解答此类题目时需注意题目给出的点是“在曲线上的点（切点）”还是“曲线外的点”。若为曲线上的点，其导数直接对应切线斜率；若为曲线外的点，则需先设出切点坐标再建立方程组求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中导数几何意义章节的核心基础例题，属于高考对导数工具性应用的直接考查。
2. 结论推广：对于任意三次函数 $y=a{x}^3+cx+d$，其在曲线上点 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率为 $k=3a{x}_0^2+c$，对应的切线方程通式为 $y-y_0=(3a{x}_0^2+c)(x-x_0)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.02 直线方程的形式与直线系
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)