2005-江苏卷-13 填-四种命题的形式与变换

本题导读

本题考查四种命题的构造方法。核心意图是检验考生对“否命题”概念的理解，要求同时否定原命题的条件与结论。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 命题“若 $a>b$，则 $2^a>2^b-1$”的否命题为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别原命题结构：条件 $p$ 为 $a>b$，结论 $q$ 为 $2^a>2^b-1$。
2. 明确否命题定义：原命题简记为“若 $p$ 则 $q$”，其否命题形式为“若 $\neg p$ 则 $\neg q$”。
3. 否定条件与结论：将条件 $a>b$ 取反得到 $a\le b$；将结论 $2^a>2^b-1$ 取反得到 $2^a\le 2^b-1$。

✅【答案】

Success

若 $a\le b$

✍【详细解析】

Abstract

原命题的条件为 $a>b$，对其否定可得 $a\le b$。 原命题的结论为 $2^a>2^b-1$，对其否定可得 $2^a\le 2^b-1$。 根据否命题的定义，需要同时否定原命题的条件和结论，并保持“若……则……”的结构不变。 因此，该命题的否命题为：若 $a\le b$，则 $2^a\le 2^b-1$。 答案：若 $a\le b$，则 $2^a\le 2^b-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原命题与否命题之间的代数转化与逻辑对应关系。
2. 核心方法：直接否定法（条件结论双重取反）。
3. 避坑指南：必须严格区分“否命题”与“命题的否定”。“否命题”对条件和结论同时进行否定；而“命题的否定”仅仅否定结论，不改变条件。另外，在处理不等号的否定时，大于号（$>$）的对立面是小于等于号（$\le$），注意切勿漏掉等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题取材于教材中常用逻辑用语章节关于命题变换的基础习题，属于高考对基本概念、基本逻辑语意掌握情况的直接抽测。
2. 结论推广：对于任意条件命题“若 $p$ 则 $q$”，其逆命题为“若 $q$ 则 $p$”，否命题为“若 $\neg p$ 则 $\neg q$”，逆否命题为“若 $\neg q$ 则 $\neg p$”。其中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。

🔗【关联脉络】

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