2005-江苏卷-06 单-抛物线的定义

本题导读

本题考查抛物线的定义及标准方程的基本性质。核心意图是要求考生能够将非标准形式的抛物线方程转化为标准形式，并熟练运用抛物线的几何定义（焦半径等于点到准线的距离）进行去坐标化简计算。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 抛物线 $y=4x^2$ 上的一点 $M$ 到焦点的距离为 1，则点 $M$ 的纵坐标是()

A. $\frac{17}{16}$　　　　　　B. $\frac{15}{16}$　　　　　　C. $\frac{7}{8}$　　　　　　D. 0

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化为标准方程：将原方程 $y=4x^2$ 变形为以二次项为主体的标准形式 $x^2=2py$，从而确定关键几何参数 $p$ 的值。
2. 利用抛物线定义：根据抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离，写出含有纵坐标的焦半径公式，列方程求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

将抛物线方程 $y=4x^2$ 两边同除以 4，化为标准方程得： $x^2=\frac{1}{4}y$ 该抛物线开口向上，对应的标准形式为 $x^2=2py$， 对照系数可得： $2p=\frac{1}{4}⟹p=\frac{1}{8}$ 则该抛物线的准线方程为： $y=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{16}$ 设点 $M$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$。 根据抛物线的定义，点 $M$ 到焦点的距离等于它到准线 $y=-\frac{1}{16}$ 的距离， 即： $d=y_0-\left(-\frac{1}{16}\right)=y_0+\frac{1}{16}$ 因为已知点 $M$ 到焦点的距离为 1，所以： $y_0+\frac{1}{16}=1⟹y_0=\frac{15}{16}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：开口向上的抛物线标准方程中参数 $p$ 的确定，以及焦半径公式的代数推导。
2. 核心方法：定义转化法。将难以直接用两点距离公式展开的“点焦距离”等价转化为到准线垂直距离的“点线距离”。
3. 避坑指南：极易盲目将原始方程中的系数 $4$ 直接认定为 $2p$。在确定抛物线参数 $p$ 之前，必须将二次项前面的系数化为 $1$，否则会因焦点和准线方程错位导致求出错误答案 $\frac{3}{4}$ 或 $\frac{7}{8}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题取材于教材中抛物线核心定义的课后典型基础习题。命题者巧妙变换了二次项与一次项的左右位置，以此检验考生在非标准思维定式下对基础概念的审视和转化能力。
2. 结论推广：对于任意形式为 $y=a{x}^2$ ($a\ne 0$) 的抛物线，其标准方程为 $x^2=\frac{1}{a}y$。若 $a>0$，准线方程为 $y=-\frac{1}{4a}$，其上任意一点 $M(x_0,y_0)$ 的焦半径公式恒满足 $l=y_0+\frac{1}{4a}$。

🔗【关联脉络】

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