2005-江苏卷-05 单-正弦定理的应用

本题导读

本题考查正弦定理与三角恒等变换在解三角形中的综合应用。核心意图是利用正弦定理将三角形的周长表达式完全转化为关于单一角 $B$ 的三角函数式，并通过两角和公式进行化简。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 在 $△ABC$ 中， $A=\frac{\pi }{3},BC=3$，则 $△ABC$ 的周长为()

A. $4\sqrt{3}\sin \left(B+\frac{\pi }{3}\right)+3$　　　　　　　　　　　　　　B. $4\sqrt{3}\sin \left(B+\frac{\pi }{6}\right)+3$

C. $6\sin \left(B+\frac{\pi }{3}\right)+3$　　　　　　　　　　　　　　D. $6\sin \left(B+\frac{\pi }{6}\right)+3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用正弦定理表示边长：根据 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，已知 $a=3,A=\frac{\pi }{3}$，求出外接圆直径 $2R$ 的值。
2. 写出周长代数式：将周长 $l=a+b+c$ 中的 $b,c$ 用含 $B,C$ 的正弦式替换，并利用 $C=\frac{2\pi }{3}-B$ 消除变量 $C$。
3. 三角公式化简：运用两角和的正弦公式展开并合并同类项，将其化为 $A\sin (B+\phi )+k$ 的标准形式。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，已知 $a=BC=3$， $A=\frac{\pi }{3}$。 根据正弦定理，有： $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{3}{\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$ 从而可得其余两边长为： $b=2R\sin B=2\sqrt{3}\sin B$ $c=2R\sin C=2\sqrt{3}\sin C$ 因为 $A+B+C=\pi ⟹C=\pi -\frac{\pi }{3}-B=\frac{2\pi }{3}-B$， 所以： $c=2\sqrt{3}\sin \left(\frac{2\pi }{3}-B\right)$ 则 $△ABC$ 的周长 $l$ 为： $l=a+b+c=3+2\sqrt{3}\sin B+2\sqrt{3}\sin \left(\frac{2\pi }{3}-B\right)$ 利用两角和与差的正弦公式展开后一项： $\sin \left(\frac{2\pi }{3}-B\right)=\sin \frac{2\pi }{3}\cos B-\cos \frac{2\pi }{3}\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B-\left(-\frac{1}{2}\right)\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B$ 代入周长公式中化简： $l=3+2\sqrt{3}\sin B+2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B\right)$ $l=3+2\sqrt{3}\sin B+3\cos B+\sqrt{3}\sin B$ $l=3\sqrt{3}\sin B+3\cos B+3$ 提取公因式 $6$ 逆用两角和公式进行辅助角化简： $l=6\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin B+\frac{1}{2}\cos B\right)+3$ 因为 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$， $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{12}$， 所以： $l=6\sin \left(B+\frac{\pi }{6}\right)+3$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的“边化角”转化，辅助角公式 $A\sin \theta +B\cos \theta =\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\phi )$ 的精确应用。
2. 核心方法：统一自变量法。通过三角形内角和关系将所有未知角归结到角 $B$ 层面进行同频变形。
3. 避坑指南：在最后一步化简 $3\sqrt{3}\sin B+3\cos B$ 时，极易因系数计算粗心错选成 C 选项。提取变形时应严格校验： $\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2+3^2}=\sqrt{27+9}=6$，故前置系数必然是 6，且内部对应 $\sin B$ 的系数是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，对应的余弦名是 $\frac{\pi }{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中正弦定理应用以及三角恒等变换的常规小综合大题的改编。命题者将其浓缩为选择题，侧重考查考生在代数推导过程中的运算准确度和思维条理性。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若已知固定边 $a$ 及对角 $A$，其周长 $l$ 随其余内角变化的通用函数表达式为： $l=\frac{2a}{\sin A}\cos \left(\frac{A}{2}\right)\sin \left(B+\frac{A}{2}\right)+a$。本题代入 $a=3,A=\frac{\pi }{3}$，直接可得 $l=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cos \frac{\pi }{6}\sin \left(B+\frac{\pi }{6}\right)+3=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left(B+\frac{\pi }{6}\right)+3=6\sin \left(B+\frac{\pi }{6}\right)+3$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

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