2005-江苏卷-04 单-正三棱柱的几何性质

本题导读

本题考查空间点到平面距离的计算。核心意图是考查空间想象能力与等体积转化思想，通过将待求点面距离转化为求三棱锥的高，利用体积恒等关系进行求解。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，若 $AB=2,A{A}_1=1$，则点 $A$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等体积法转化问题：点 $A$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离即为三棱锥 $A-A_{1}BC$ 以 $△A_{1}BC$ 为底面时的高 $d$，根据 $V_{A-A_{1}BC}=V_{A_1-ABC}$ 建立方程。
2. 计算三棱锥以 $ABC$ 为底时的体积：求出正三角形 $ABC$ 的面积和高 $A{A}_1$，得到体积值。
3. 计算斜截面 $△A_{1}BC$ 的面积：由勾股定理求出 $△A_{1}BC$ 的三边长，进而求得其面积，代入体积等式解出 $d$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设点 $A$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离为 $d$。 根据三棱锥的体积性质，有 $V_{A-A_{1}BC}=V_{A_1-ABC}$。 在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面 $△ABC$ 为边长为 2 的正三角形， 所以其面积为： $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$ 又因为高 $A{A}_1=1$，所以： $V_{A_1-ABC}=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times A{A}_1=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 1=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 在 $△A_{1}BC$ 中， $BC=2$。 由侧棱垂直于底面可知 $A{A}_1\perp AB$， $A{A}_1\perp AC$， 由勾股定理得： $A_{1}B=A_{1}C=\sqrt{A{A}_1^2+A{B}^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ 取 $BC$ 的中点 $E$，连接 $A_{1}E$，则 $A_{1}E\perp BC$。 在 Rt$△A_{1}BE$ 中， $BE=1$， 所以底面 $BC$ 上的高为： $A_{1}E=\sqrt{A_1{B}^2-B{E}^2}=\sqrt{5-1}=2$ 故 $△A_{1}BC$ 的面积为： $S_{△A_{1}BC}=\frac{1}{2}\times BC\times A_{1}E=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$ 因为 $V_{A-A_{1}BC}=\frac{1}{3}\times S_{△A_{1}BC}\times d=\frac{2}{3}d$， 所以 $\frac{2}{3}d=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹d=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等体积法求点面距离，正三棱柱截面三角形面积的计算。
2. 核心方法：等体积转化法（三棱锥顶点与底面可任意对调，体积保持不变）。
3. 避坑指南：计算截面 $△A_{1}BC$ 面积时，切勿将其误认为正三角形。它是腰长为 $\sqrt{5}$、底边长为 $2$ 的等腰三角形，需先求出底边上的高再算面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中正棱柱基本性质与空间几何体体积计算的典型交汇题。通过求点到斜面的距离，重点考查空间向量法或等体积法这两大高频解题工具。
2. 结论推广：在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，若底面边长为 $a$，侧棱长为 $h$，则底面顶点到相对斜截面 $A_{1}BC$ 的距离满足通用公式： $d=\frac{\sqrt{3}ah}{\sqrt{3a^2+4h^2}}$。本题中代入 $a=2,h=1$，得 $d=\frac{\sqrt{3}\times 2\times 1}{\sqrt{3\times 4+4\times 1}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.04 空间向量求距离
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

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