2005-江苏卷-03 单-等比数列的通项公式

本题导读

本题考查等比数列的通项公式与求和运算。核心考查意图是通过基本量列方程求解数列的公比，再利用项之间的幂次比例关系进行整体代换，从而快速求得目标代数式的值。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 在各项都为正数的等比数列 $\{a_n\}$ 中，首项 $a_1=3$，前三项和为 21，则 $a_3+a_4+a_5=$()

A. 33　　　　　　B. 72　　　　　　C. 84　　　　　　D. 189

🔍【思路分析】

破题导航

1. 列方程求公比 $q$：由 $a_1=3$ 及 $a_1+a_2+a_3=21$ 列出关于 $q$ 的一元二次方程，结合各项均为正数（$q>0$）解出公比 $q$。
2. 求解目标代数式：

• 方法一（整体法）：观察发现目标项与已知项具有位置平移关系，即 $a_3+a_4+a_5=q^2(a_1+a_2+a_3)$，直接整体代换计算。
• 方法二（逐项法）：分别算出 $a_3,a_4,a_5$ 的具体值后直接求和。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 because $a_1=3$，且前三项和为 21， 所以 $a_1+a_2+a_3=21⟹3+3q+3q^2=21$。 两边同除以 3 得： $1+q+q^2=7⟹q^2+q-6=0$ 因式分解得： $(q-2)(q+3)=0$ because 数列各项都为正数，所以公比 $q>0$，故舍去负根，得 $q=2$。

方法一（整体结构代换法）： 观察目标式与已知前三项和的关系： $a_3+a_4+a_5=a_1{q}^2+a_2{q}^2+a_3{q}^2=q^2(a_1+a_2+a_3)$ 代入 $q=2$ 及 $a_1+a_2+a_3=21$ 得： $a_3+a_4+a_5=2^2\times 21=4\times 21=84$

方法二（基本量法）： 由 $a_1=3,q=2$ 分别算出各单项值： $a_3=a_1{q}^2=3\times 4=12$ $a_4=a_1{q}^3=3\times 8=24$ $a_5=a_1{q}^4=3\times 16=48$ 求和得： $a_3+a_4+a_5=12+24+48=84$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项公式的代数化简，一元二次方程的因式分解。
2. 核心方法：指数错位整体提取法。利用 $a_{n+k}=q^k{a}_n$ 将复杂的长项求和转化为已知因式与公比幂次的乘积。
3. 避坑指南：解方程求得 $q=2$ 或 $q=-3$ 时，务必注意题目开头“各项都为正数”这一关键限制。如果错用 $q=-3$ 进行计算，将导致最终求和符号或数值发生错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题取材于教材中等比数列通项与求和性质的核心基础习题，考查对数列基本量运算的熟练度。
2. 结论推广：在等比数列 $\{a_n\}$ 中，任意两组相同项数的连续片段和之间存在固定的几何倍数关系。更一般地，若已知 ${\sum }_{k=1}^m{a}_k=S$，则平移变限后的求和项满足 ${\sum }_{k=1}^m{a}_{k+d}=q^d\cdot S$。本题即为 $m=3,d=2$ 时的直接应用。

🔗【关联脉络】

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