2005-江苏卷-02 单-反函数的概念与求法

本题导读

本题考查指数型函数的反函数求解。核心意图是考查反函数求解的标准步骤，以及指数与对数互化、对数性质的代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 函数 $y=2^{1-x}+3$ ($x\in \mathbf{R}$) 的反函数的解析表达式为()

A. $y={\log }_2\frac{2}{x-3}$　B. $y={\log }_2\frac{x-3}{2}$　C. $y={\log }_2\frac{3-x}{2}$　D. $y={\log }_2\frac{2}{3-x}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 移项隔离指数式：将常数项 3 移到等号左边，分离出包含 $x$ 的指数项 $2^{1-x}$。
2. 指对互化反解 $x$：将指数式写为对数式形式，反解出 $x$，并利用对数运算性质将常数 $1$ 转化为 ${\log }_{2}2$ 进项整体合并。
3. 互换变量求反函数：将 $x$ 与 $y$ 互换即可得到反函数的解析式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由原函数 $y=2^{1-x}+3$，移项得： $y-3=2^{1-x}$ 因为 $2^{1-x}>0$，所以 $y-3>0⟹y>3$。 将指数式化为对数式，得： $1-x={\log }_2(y-3)$ 反解出 $x$： $x=1-{\log }_2(y-3)$ 利用对数运算性质 $1={\log }_{2}2$ 进行合并化简： $x={\log }_{2}2-{\log }_2(y-3)={\log }_2\frac{2}{y-3}$ 将 $x$ 与 $y$ 互换，得到反函数的解析表达式为： $y={\log }_2\frac{2}{x-3}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：求反函数的标准步骤（反解 $x\to$ 互换 $x,y$），以及对数减法性质 ${\log }_{a}M-{\log }_{a}N={\log }_a\frac{M}{N}$ 的代数化简。
2. 核心方法：指对互化法。利用 $a^b=N⟺b={\log }_{a}N$ 实现自变量的位置转化。
3. 避坑指南：在化简 $1-{\log }_2(y-3)$ 时，注意减去一个对数相当于真数部分变为分母，切勿因公式记错将其误化为 ${\log }_2\frac{y-3}{2}$ 导致错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题取材于教材中反函数及基本初等函数章节的课后巩固基础题，侧重考查函数逆变换与代数变形的准确度。
2. 结论推广：对于一般的指数型函数 $y=a^{m-kx}+d$ ($a>0,a\ne 1,k\ne 0$)，其反函数可通过标准程序推广为通用公式： $y=\frac{m-{\log }_a(x-d)}{k}$。本题中代入 $a=2,m=1,k=1,d=3$，直接可得 $y=1-{\log }_2(x-3)={\log }_2\frac{2}{x-3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

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