2005-广东卷-20 解-轴对称的几何性质

本题导读

本题考查垂直平分线性质构建隐代数方程、由图形边界引发的分段截距函数最值讨论。核心在于垂直平分线列折痕方程与分段函数最值。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 20. 在平面直角坐标系中，已知矩形 $ABCD$ 的长为 2，宽为 1， $AB$、 $AD$ 边分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴上， $A$ 点与坐标原点重合 (如图所示). 将矩形折叠，使 $A$ 点落在线段 $DC$ 上.

(1) 若折痕所在直线的斜率为 $k$，试写出折痕所在直线的方程；

(2) 求折痕的长的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：

• 设 $A$ 点折叠后的落点为 $A^{\prime }(t,1)$，由于 $A^{\prime }$ 在线段 $DC$ 上，其横坐标限制为 $0⩽t⩽2$。
• 折痕所在直线 $l$ 恰好是线段 $A{A}^{\prime }$ 的垂直平分线。
• 利用 $A{A}^{\prime }$ 的中点 $M\left(\frac{t}{2},\frac{1}{2}\right)$ 在直线 $l$ 上，且直线 $l$ 的斜率 $k\cdot k_{A{A}^{\prime }}=-1$，建立 $t$ 与 $k$ 的关系，消去 $t$ 即可写出以 $k$ 为参数的直线方程。

2. 第 (2) 问：

• 折痕是直线 $l$ 被矩形边界截得的线段 $MN$。需要确定直线 $l$ 与矩形边界的两个交点。
• 根据 $k$ 的范围（由 $0⩽t⩽2$ 推导），讨论直线与矩形四条边中的哪两条相交。
• 利用两点间距离公式将折痕长度 $L$ 表示为 $k$ 的函数，利用单调性或导数求出最大值。

✅【答案】

Success

折痕长度的最大值为 $\sqrt{2}$（当且仅当 $k=-1$ 时取得）

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 若折痕所在直线的斜率为 $k$，试写出折痕所在直线的方程 由题意知， $A(0,0)$。设 $A$ 点折叠后在线段 $DC$ 上的落点为 $A^{\prime }(t,1)$。 $\because A^{\prime }$ 在线段 $DC$ 上，矩形长为 2，宽为 1， $\therefore 0⩽t⩽2$。 线段 $A{A}^{\prime }$ 的中点为 $M\left(\frac{t}{2},\frac{1}{2}\right)$，直线 $A{A}^{\prime }$ 的斜率为 $k_{A{A}^{\prime }}=\frac{1-0}{t-0}=\frac{1}{t}$。

$\because$ 折痕所在直线 $l$ 是线段 $A{A}^{\prime }$ 的垂直平分线，且直线 $l$ 的斜率为 $k$， $\therefore k\cdot \frac{1}{t}=-1⟹t=-k\text{(1)}$ $\because 0⩽t⩽2⟹0⩽-k⩽2⟹-2⩽k⩽0$。 由于 $t=0$ 时斜率不存在，此处直线的斜率范围实际为 $-2⩽k<0$。

将 ① 代入中点 $M$ 的坐标中，得 $M\left(-\frac{k}{2},\frac{1}{2}\right)$。 利用点斜式写出折痕所在直线 $l$ 的方程： $y-\frac{1}{2}=k\left(x-\left(-\frac{k}{2}\right)\right)⟹y=kx+\frac{k^2+1}{2}$

故折痕所在直线的方程为 $y=kx+\frac{k^2+1}{2}$ （其中 $-2⩽k<0$）。 (注：当 $t=0$ 时，折痕为 $y=\frac{1}{2}$，其斜率 $k=0$，方程同样符合此形式。)

• (2) 求折痕的长的最大值 设折痕所在直线 $l$ 与矩形边界的交点分别为 $P,Q$。折痕长度为 $|PQ|$。 由 $-2⩽k⩽0$，直线 $l:y=kx+\frac{k^2+1}{2}$ 与各边界交点分析：
• 令 $x=0$（与 $y$ 轴即 $AD$ 边交点）： $y_P=\frac{k^2+1}{2}$。 $\because -2⩽k⩽0⟹0⩽k^2⩽4⟹\frac{1}{2}⩽y_P⩽\frac{5}{2}$。 当 $-1⩽k⩽0$ 时， $\frac{1}{2}⩽y_P⩽1$，交点在 $AD$ 边上，坐标为 $P\left(0,\frac{k^2+1}{2}\right)$。 当 $-2⩽k<-1$ 时， $y_P>1$，交点超出了 $AD$ 边，直线的左端点改与 $CD$ 边 ($y=1$) 相交。

因此，需要对斜率 $k$ 进行分类讨论：

情况一：当 $-1⩽k⩽0$ 时 直线 $l$ 与 $y$ 轴 ($x=0$) 交于 $P\left(0,\frac{k^2+1}{2}\right)$。 直线 $l$ 与 $x$ 轴 ($y=0$) 交于 $Q$： $0=kx+\frac{k^2+1}{2}⟹x_Q=-\frac{k^2+1}{2k}$。 检查范围： $\because -1⩽k<0⟹x_Q=\frac{k^2+1}{-2k}⩾\frac{2|-k|}{-2k}=1$，且当 $k=-1$ 时 $x_Q=1⩽2$。 所以交点 $Q\left(-\frac{k^2+1}{2k},0\right)$ 始终在 $AB$ 边上。 此时折痕长度 $L$ 的平方为： $L^2=(x_P-x_Q{)}^2+(y_P-y_Q{)}^2={\left(\frac{k^2+1}{2k}\right)}^2+{\left(\frac{k^2+1}{2}\right)}^2=\frac{(k^2+1{)}^2}{4k^2}+\frac{(k^2+1{)}^2}{4}=\frac{(k^2+1{)}^3}{4k^2}$ 令 $u=-k\in [0,1]$，则 $L^2=\frac{(u^2+1{)}^3}{4u^2}=\frac{1}{4}\left(u+\frac{1}{u}\right)(u^2+1)$。 根据双勾函数的单调性，当 $u$ 在 $(0,1]$ 内递增时， $u+\frac{1}{u}$ 严格递减。 故当 $u=1$（即 $k=-1$）时， $L^2$ 取得最大值： $L_{\max }^2=\frac{(1^2+1{)}^3}{4\times 1^2}=\frac{8}{4}=2⟹L=\sqrt{2}$

情况二：当 $-2⩽k<-1$ 时 此时直线 $l$ 与顶边 $CD$ ($y=1$) 相交： $1=kx+\frac{k^2+1}{2}⟹kx=\frac{1-k^2}{2}⟹x_P=\frac{1-k^2}{2k}$。 交点为 $P\left(\frac{1-k^2}{2k},1\right)$。 直线 $l$ 与底边 $AB$ ($y=0$) 相交，交点仍为 $Q\left(-\frac{k^2+1}{2k},0\right)$。 此时折痕长度 $L$ 的平方为： $L^2=(x_P-x_Q{)}^2+(y_P-y_Q{)}^2={\left(\frac{1-k^2}{2k}-\frac{-k^2-1}{2k}\right)}^2+(1-0{)}^2={\left(\frac{2}{2k}\right)}^2+1=\frac{1}{k^2}+1$ $\because -2⩽k<-1⟹1<k^2⩽4⟹\frac{1}{4}⩽\frac{1}{k^2}<1$。 $\therefore L^2=\frac{1}{k^2}+1\in \left[\frac{5}{4},2\right)$ 即在这种情况下， $L<\sqrt{2}$。

综上所述，折痕长度的最大值为 $\sqrt{2}$（当且仅当 $k=-1$ 时取得）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：垂直平分线性质构建隐代数方程、由图形边界引发的分段截距函数最值讨论。
2. 避坑指南：

• 必须对斜率进行分段讨论。直接计算出的交点可能会“飘出”矩形的实际边界（如当 $k<-1$ 时，与 $y$ 轴的交点纵坐标大于 1，实际已经出了矩形），若不分段讨论直接代入单一公式求解，会导致最值边界判定错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将参数置于区间端点或极值点，讨论单调区间的划分与最值取到的位置，强化导数符号分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)