2005-广东卷-19 解-函数的对称性

本题导读

本题考查双轴对称变换、周期性在任意区间的根数平移平摊计数。核心在于对称性定周期与平移平摊数根。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 19. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上满足 $f(2-x)=f(2+x)$， $f(7-x)=f(7+x)$，且在闭区间 $[0,7]$ 上，只有 $f(1)=f(3)=0$.

(1) 试判断函数 $y=f(x)$ 的奇偶性；

(2) 试求方程 $f(x)=0$ 在闭区间 $[-2005,2005]$ 上的根的个数，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 已知 $f(2-x)=f(2+x)$ 说明函数关于直线 $x=2$ 对称； $f(7-x)=f(7+x)$ 说明函数关于直线 $x=7$ 对称。
• 双对称轴可导出周期性：由 $f(x)=f(2-(2-x))$ 逐步代换得出 $f(x+10)=f(x)$，周期 $T=10$。
• 计算特殊点 $f(-1),f(1)$ 的关系或探索 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的通性来判定奇偶性。

2. 第二问：

• 确定一个周期 $[0,10)$ 内根的个数。已知 $[0,7]$ 上只有 $x=1,3$ 两个根，再利用 $x=7$ 对称轴推导 $(7,10)$ 范围内的根。
• 根据周期 $T=10$ 将大区间 $[-2005,2005]$ 拆分为若干个完整的周期和余项区间，将每段的根数相加。

✅【答案】

Success

函数 $y=f(x)$ 是非奇非偶函数

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 判断函数 $y=f(x)$ 的奇偶性 $\because f(2-x)=f(2+x)$，用 $x-2$ 代替 $x$ 得： $f(4-x)=f(x)\text{(1)}$ $\because f(7-x)=f(7+x)$，用 $x-7$ 代替 $x$ 得： $f(14-x)=f(x)\text{(2)}$ 结合 ①、②，有 $f(14-x)=f(4-x)$。用 $4-x$ 代替 $x$ 可得： $f(14-(4-x))=f(x)⟹f(x+10)=f(x)$ 所以函数 $f(x)$ 是以 10 为周期的周期函数。

$\because f(1)=0$，且 $f(x)$ 关于 $x=2$ 对称， $\therefore f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1)=0$（符合题意）。 再由周期性： $f(-1)=f(-1+10)=f(9)$ $\because f(x)$ 关于 $x=7$ 对称， $\therefore f(9)=f(7+2)=f(7-2)=f(5)$。 而在闭区间 $[0,7]$ 上，只有 $f(1)=f(3)=0$， $\therefore f(5)\ne 0⟹f(-1)\ne 0$。 但 $f(1)=0$，如果 $f(x)$ 是奇函数，则必有 $f(-1)=-f(1)=0$，矛盾，故 $f(x)$ 不是奇函数。 如果 $f(x)$ 是偶函数，则必有 $f(-1)=f(1)=0px$，同样矛盾，故 $f(x)$ 不是偶函数。

综上所述，函数 $y=f(x)$ 是非奇非偶函数。

• (2) 求方程 $f(x)=0$ 在闭区间 $[-2005,2005]$ 上的根的个数 第一步：确定一个周期 $[0,10)$ 内根的分布 已知在 $[0,7]$ 上只有 $x_1=1,x_2=3$ 两个根。 在区间 $(7,10)$ 上：设 $x\in (7,10)$，则 $14-x\in (4,7)\subset [0,7]$。 由 $f(x)=f(14-x)=0⟹14-x=1$ 或 $14-x=3$，解得 $x_3=13$（不属此区间）或 $x_4=11$（不属此区间）。 事实上，由于关于 $x=7$ 对称， $[4,7]$ 上的根对称过去应该在 $[7,10]$ 上。 在 $[4,7]$ 上没有根（因为 $[0,7]$ 内只有 1 和 3），所以 $(7,10]$ 上也没有根。

因此，在半开半闭的单个周期 $[0,10)$ 内，方程 $f(x)=0$ 有且仅有 2 个根（即 $x=1,3$）。

第二步：计算大区间 $[-2005,2005]$ 内的根数 区间 $[-2005,2005]$ 的总长度为 $2005-(-2005)=4010$。 由于周期 $T=10$，该区间恰好可以划分为： $\frac{4010}{10}=401\text{ 个完整周期}$ 具体可拆分为： $[-2005,2005]=[-2005,-1995)\cup [-1995,-1985)\cup \cdots \cup [1995,2005]$。

为了精确数出最后一项的边界，我们将区间写为： $[-2005,2005]={\bigcup }_{k=-200}^{199}[10k-5,10k+5)\cup \{2005\}$ 我们考查标准区间 $[-5,5]$ 内的根情况：

• 在 $[0,5]$ 内，根有 $x=1,3$（共 2 个）；
• 在 $[-5,0)$ 内，利用关于 $x=2$ 对称及周期性，等价于区间 $[5,10)$ 内的根。前面已证 $(7,10)$ 无根，而 $f(5)\ne 0$， $[5,7]$ 内无根，故 $[-5,0)$ 内没有根。

因此，在每一个形状如 $[10k-5,10k+5)$ 的半开周期里，根的个数均与 $[-5,5)$ 一致，为 2 个。 这样的完整周期区间一共有 $199-(-200)+1=400$ 个。

剩下的部分为最后一组： $[1995,2005]$。

• 在 $[1995,2005)$ 内有 2 个根（即 $1995+6=2001$ 和 $1995+8=2003$）；
• 检查端点 $x=2005$： $f(2005)=f(2005-200\times 10)=f(5)\ne 0$，不是根。

所以总根数为： $\text{总根数}=401\times 2=802\text{ 个}$

方程 $f(x)=0$ 在该区间上的根的个数为 802。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双轴对称变换、周期性在任意区间的根数平移平摊计数。
2. 避坑指南：

• 区间端点必须严格检验。本题 $[-2005,2005]$ 刚好是 401 个整周期长度，但由于其端点不是 0 或 10，而是以 5 结尾，必须通过将区间平移到标准中心区间 $[-5,5]$ 观察其根的非对称排布（ 1 和 3 全在正半轴），确认端点 2005 处 $f(5)\ne 0$ 后，方可直接乘以 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变元素的限制条件（相邻、不相邻、定序、分组），体会分类讨论与分步计数的配合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)