2005-广东卷-18 解-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题考查有界几何分布概率模型、错位相减求和。核心在于分类讨论列分布列与错位相减求期望。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 18. 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为 $s:t$.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 $n$ 次，以 $\xi$ 表示取球结束时已取到白球的次数.

(1) 求 $\xi$ 的分布列；

(2) 求 $\xi$ 的数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：

• 单次取球取到黄球的概率 $p=\frac{s}{s+t}$，取到白球的概率 $q=\frac{t}{s+t}$。
• 明确随机变量 $\xi$ 的可能取值：已取到白球的次数可能为 $0,1,2,\cdots ,n-1,n$。
• 当 $0⩽k<n$ 时， $\xi =k$ 表示前 $k$ 次均取到白球，第 $k+1$ 次取到黄球导致试验结束。
• 当 $\xi =n$ 时，表示前 $n$ 次全部取到白球，从而达到最高次数限制而被动结束。

2. 第 (2) 问：

• 根据数学期望的定义式 $E(\xi )=\sum k\cdot P(\xi =k)$ 列出和式。
• 该和式是一项含有算术级数与几何级数相乘的形式（等差 $\times$ 等比），采用“错位相减法”或借助概率总和为 1 的恒等式变形来进行求和化简。

✅【答案】

Success

设p=P(取到黄球)=ss+t

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 求 $\xi$ 的分布列 设单次任意取出一球，取到黄球的概率为 $p=\frac{s}{s+t}$，取到白球的概率为 $q=\frac{t}{s+t}$。明显有 $p+q=1$。 随机变量 $\xi$ 表示取球结束时已取到白球的次数，其所有可能取值为 $0,1,2,\cdots ,n$。

• 当 $k\in \{0,1,2,\cdots ,n-1\}$ 时， $\xi =k$ 意味着前 $k$ 次均摸出白球（且放回），第 $k+1$ 次恰好摸出黄球导致结束： $P(\xi =k)=q^{k}p(k=0,1,2,\cdots ,n-1)$

• 当 $k=n$ 时，意味着试验达到了最高上限 $n$ 次。此时已连续摸出 $n$ 次白球： $P(\xi =n)=q^n$

故 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	$\cdots$	$n-1$	$n$
$P$	$p$	$qp$	$q^{2}p$	$\cdots$	$q^{n-1}p$	$q^n$

• (2) 求 $\xi$ 的数学期望 根据数学期望的定义公式： $E(\xi )=0\cdot p+1\cdot qp+2\cdot q^{2}p+3\cdot q^{3}p+\cdots +(n-1)q^{n-1}p+n\cdot q^n$ $E(\xi )=p\left(q+2q^2+3q^3+\cdots +(n-1)q^{n-1}\right)+n{q}^n\text{(1)}$

设 $S=q+2q^2+3q^3+\cdots +(n-1)q^{n-1}$，两边同乘以 $q$ 得： $qS=q^2+2q^3+3q^4+\cdots +(n-1)q^n\text{(2)}$

利用错位相减法，由 ① - ② 得： $(1-q)S=q+q^2+q^3+\cdots +q^{n-1}-(n-1)q^n$ $\because 1-q=p$，利用等比数列求和公式化简右侧： $pS=\frac{q(1-q^{n-1})}{1-q}-(n-1)q^n=\frac{q(1-q^{n-1})}{p}-(n-1)q^n$ $\therefore pS=\frac{q-q^n}{p}-(n-1)q^n$

将 $pS$ 的化简结果代入期望表达式 ① 中： $E(\xi )=\left[\frac{q-q^n}{p}-(n-1)q^n\right]+n{q}^n$ $E(\xi )=\frac{q-q^n}{p}-n{q}^n+q^n+n{q}^n$ $E(\xi )=\frac{q-q^n}{p}+q^n=\frac{q-q^n+p{q}^n}{p}$ $\because p=1-q$，代入分子中： $E(\xi )=\frac{q-q^n+(1-q)q^n}{p}=\frac{q-q^n+q^n-q^{n+1}}{p}=\frac{q-q^{n+1}}{p}=\frac{q(1-q^n)}{p}$

将最初定义的 $p=\frac{s}{s+t}$， $q=\frac{t}{s+t}$ 代入最终结果： $E(\xi )=\frac{\frac{t}{s+t}}{\frac{s}{s+t}}\cdot \left[1-{\left(\frac{t}{s+t}\right)}^n\right]=\frac{t}{s}\left[1-{\left(\frac{t}{s+t}\right)}^n\right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：带有边界限制的有界几何分布概率模型、等差 $\times$ 等比级数的错位相减求和。
2. 避坑指南：

• 最后一项 $\xi =n$ 的概率极易写错。很多考生会顺着前面的规律惯性写成 $q^{n}p$，这是错误的。因为次数上限是 $n$ 次，只要前 $n$ 次全部摸出白球，不论第 $n+1$ 次是什么，试验都必须强行停止，因此不需要再乘以 $p$。
• 错位相减化简时项数和符号需要严格对齐。对齐减出的等比数列总共有 $n-1$ 项（从 $q$ 到 $q^{n-1}$），尾项 $-(n-1)q^n$ 的符号在求和化简中极易因粗心算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变递推式的首项或系数，用待定系数法构造等比数列，或改用裂项、错位相减求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)