2005-广东卷-17 解-抛物线的几何性质

本题导读

本题考查垂直向量数量积为零的代数转化、重心公式消参构建轨迹、基本不等式链。核心在于设点消参求重心轨迹与面积不等式。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 17. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=x^2$ 上异于坐标原点 $O$ 的两不同动点 $A、B$ 满足 $AO\perp BO$ (如图所示).

(1) 求 $△AOB$ 的重心 $G$ (即三角形三条中线的交点) 的轨迹方程；

(2) $△AOB$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：

• 设 $A(x_1,x_1^2)$， $B(x_2,x_2^2)$，由 $AO\perp BO$ 可得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，即 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，由此建立 $x_1{x}_2$ 的等量关系。
• 设重心 $G(x,y)$，根据重心坐标公式 $x=\frac{x_1+x_2+0}{3}$， $y=\frac{y_1+y_2+0}{3}$，通过消去参数 $x_1,x_2$ 建立 $x$ 与 $y$ 的关系式。

2. 第 (2) 问：

• 因为 $AO\perp BO$， $△AOB$ 是直角三角形，其面积 $S=\frac{1}{2}|OA|\cdot |OB|$。
• 用 $x_1,x_2$ 的代数式表示出 $|OA{|}^2\cdot |OB{|}^2$，利用第 (1) 问得到的 $x_1{x}_2=-1$ 转化，最后结合基本不等式求解最小值。

✅【答案】

Success

(1) $y=3x^2+\frac{2}{3}$

(2) 存在最小值，最小值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 求 $△AOB$ 的重心 $G$ 的轨迹方程 设抛物线 $y=x^2$ 上的两动点分别为 $A(x_1,x_1^2)$， $B(x_2,x_2^2)$，且 $x_1\ne 0,x_2\ne 0,x_1\ne x_2$。 由此可得： $\overrightarrow{OA}=(x_1,x_1^2)$， $\overrightarrow{OB}=(x_2,x_2^2)$。 $\because AO\perp BO⟹\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$， $\therefore x_1{x}_2+x_1^2{x}_2^2=0⟹x_1{x}_2(1+x_1{x}_2)=0$ $\because x_1\ne 0,x_2\ne 0⟹x_1{x}_2\ne 0$， $\text{ref}{x}_1{x}_2=-1\text{(1)}$

设 $△AOB$ 的重心坐标为 $G(x,y)$。根据三角形重心坐标公式（原点 $O$ 坐标为 $(0,0)$）： $\{\begin{array}{l}x=\frac{x_1+x_2+0}{3}=\frac{x_1+x_2}{3}\\ y=\frac{y_1+y_2+0}{3}=\frac{x_1^2+x_2^2}{3}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3x\text{(2)}\\ x_1^2+x_2^2=3y\text{(3)}\end{array}$

利用完全平方公式变形 ③： $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$ 将 ①、② 代入上式可得： $3y=(3x{)}^2-2(-1)⟹3y=9x^2+2$

化简得： $y=3x^2+\frac{2}{3}$ $\because x_1{x}_2=-1$，则 $(x_1+x_2{)}^2=x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2=3y-2⩾0⟹y⩾\frac{2}{3}$。 又 $x_1\ne x_2⟹(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=9x^2+4>0$ 恒成立，且 $x$ 可取到 $\mathbf{R}$。

故 $△AOB$ 的重心 $G$ 的轨迹方程为： $y=3x^2+\frac{2}{3}$。

• (2) 探讨 $△AOB$ 的面积是否存在最小值 $\because AO\perp BO$， $\therefore S_{△AOB}=\frac{1}{2}|OA|\cdot |OB|$ 对其平方进行考查： $S^2=\frac{1}{4}|OA{|}^2\cdot |OB{|}^2=\frac{1}{4}(x_1^2+x_1^4)(x_2^2+x_2^4)=\frac{1}{4}{x}_1^2{x}_2^2(1+x_1^2)(1+x_2^2)$ 将 $x_1{x}_2=-1⟹x_1^2{x}_2^2=1$ 代入展开： $S^2=\frac{1}{4}\cdot 1\cdot (1+x_1^2+x_2^2+x_1^2{x}_2^2)=\frac{1}{4}(1+x_1^2+x_2^2+1)=\frac{1}{4}(2+x_1^2+x_2^2)$

根据基本不等式 $x_1^2+x_2^2⩾2\sqrt{x_1^2{x}_2^2}$： $x_1^2+x_2^2⩾2|x_1{x}_2|=2|-1|=2$ 代入可得： $S^2⩾\frac{1}{4}(2+2)=1⟹S⩾1$

当且千仅当 $x_1^2=x_2^2$ 时等号成立，结合 $x_1{x}_2=-1$ 且 $x_1\ne x_2$，可解得 $x_1=1,x_2=-1$ 或 $x_1=-1,x_2=1$。

因此， $△AOB$ 的面积存在最小值，最小值为 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：垂直向量数量积为零的代数转化、重心公式消参构建轨迹、基本不等式链。
2. 避坑指南：

• 不要盲目设直线方程联立。由于本题两条直角边都经过原点，且点在抛物线上，直接**“设点代入”**（用横坐标 $x_1,x_2$ 表达一切）能最快通过 $x_1{x}_2=-1$ 锁死核心变量，比设直线斜率化简更快捷且不易漏掉斜率不存在的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)