2005-广东卷-16 解-勾股定理与余弦定理

本题导读

本题考查由线线垂直向线面垂直的转化推导、空间直角坐标系法向量夹角计算。核心在于线线垂直推线面垂直与建系求二面角。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 16. 如图所示，在四面体 $P-ABC$ 中，已知 $PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2\sqrt{34}$. $F$ 是线段 $PB$ 上一点， $CF=\frac{15}{17}\sqrt{34}$，点 $E$ 在线段 $AB$ 上，且 $EF\perp PB$.

(1) 证明： $PB\perp \text{平面 }CEF$；

(2) 求二面角 $B-CE-F$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：

• 已知 $EF\perp PB$，要证 $PB\perp \text{平面 }CEF$，只需再证 $CF\perp PB$。
• 在 $△PBC$ 中，已知三边 $BC=6,PC=10,PB=2\sqrt{34}$，利用余弦定理算出 $\cos \angle PBC$。
• 在 $△BCF$ 中，通过边角关系或利用直角三角形射影定理验证当 $CF$ 为特定长时是否满足 $CF\perp PB$。

2. 第 (2) 问：

• 观察 $△PAC$ 三边： $PA=6,AC=8,PC=10$，满足 $P{A}^2+A{C}^2=P{C}^2⟹PA\perp AC$。
• 观察 $△ABC$ 三边： $BC=6,AC=8,AB=10⟹BC\perp AC$。
• 结合第一问的垂直关系，适合建立空间直角坐标系。以 $C$ 为原点， $CA$ 为 $y$ 轴， $CB$ 为 $x$ 轴建立坐标系，通过求平面 $BCE$ 和平面 $CEF$ 的法向量来计算二面角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析；

(2) $\arccos \frac{3\sqrt{34}}{34}$。

✍【详细解析】

Abstract

解：

• (1) 证明： $PB\perp \text{平面 }CEF$ 在 $△PBC$ 中， $BC=6,PC=10,PB=2\sqrt{34}$。 由余弦定理可得： $\cos \angle PBC=\frac{B{C}^2+P{B}^2-P{C}^2}{2\cdot BC\cdot PB}=\frac{6^2+(2\sqrt{34}{)}^2-10^2}{2\times 6\times 2\sqrt{34}}=\frac{36+136-100}{24\sqrt{34}}=\frac{72}{24\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}}$ $\therefore \sin \angle PBC=\sqrt{1-{\cos }^2\angle PBC}=\sqrt{1-\frac{9}{34}}=\sqrt{\frac{25}{34}}=\frac{5}{\sqrt{34}}$

在 $△BCF$ 中，由正弦定理或高线投影性质： 若过 $C$ 作 $C{F}^{\prime }\perp PB$ 于 $F^{\prime }$，则： $C{F}^{\prime }=BC\cdot \sin \angle PBC=6\times \frac{5}{\sqrt{34}}=\frac{30}{\sqrt{34}}=\frac{30\sqrt{34}}{34}=\frac{15}{17}\sqrt{34}$ 已知条件给定 $CF=\frac{15}{17}\sqrt{34}$，这说明点 $F$ 与垂足 $F^{\prime }$ 重合。 $\therefore CF\perp PB$ $\because EF\perp PB$ 且 $CF\cap EF=F$， $CF,EF\subset \text{平面 }CEF$， $\therefore PB\perp \text{平面 }CEF$

• (2) 求二面角 $B-CE-F$ 的大小 $\because PA=6,AC=8,PC=10⟹P{A}^2+A{C}^2=P{C}^2⟹PA\perp AC$。 $\because BC=6,AC=8,AB=10⟹B{C}^2+A{C}^2=A{B}^2⟹BC\perp AC$。 $\because PA\cap BC=\text{异面直线}$，但 $AC$ 同时垂直于 $BC$ 和 $PA$。

在 $△PAB$ 中， $PA=6,AB=10,PB=2\sqrt{34}$。 $\because P{A}^2+A{B}^2=6^2+10^2=136=(2\sqrt{34}{)}^2=P{B}^2⟹PA\perp AB$。 $\because AB\cap AC=A$， $\therefore PA\perp \text{平面 }ABC$。

以 $C$ 为原点，射线 $CB,CA$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向，过 $C$ 作平面 $ABC$ 的垂线为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $C-xyz$。 则各点坐标为： $C(0,0,0),B(6,0,0),A(0,8,0),P(0,8,6)$

由 (1) 知 $CF\perp PB$，且 $BF=BC\cdot \cos \angle PBC=6\times \frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{18}{\sqrt{34}}$。 $\overrightarrow{CB}=(6,0,0),\overrightarrow{CP}=(0,8,6)⟹\overrightarrow{PB}=(6,-8,-6)$ 点 $F$ 的坐标可通过定比分点或向量投影求得： $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CB}+\frac{|BF|}{|PB|}\overrightarrow{BP}=(6,0,0)+\frac{\frac{18}{\sqrt{34}}}{2\sqrt{34}}(-6,8,6)=(6,0,0)+\frac{9}{34}(-6,8,6)=\left(\frac{75}{17},\frac{36}{17},\frac{27}{17}\right)$

$\because PB\perp \text{平面 }CEF$， $\therefore \overrightarrow{PB}=(6,-8,-6)$ 即为平面 $CEF$ 的一个法向量 ${\vec{n}}_1$。 平面 $BCE$ 即为平面 $ABC$（即 $xOy$ 平面），其法向量可取为 ${\vec{n}}_2=(0,0,1)$。

设二面角 $B-CE-F$ 的平面角为 $\theta$： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{|6\times 0+(-8)\times 0+(-6)\times 1|}{2\sqrt{34}\times 1}=\frac{6}{2\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}$

故二面角 $B-CE-F$ 的大小为 $\arccos \frac{3\sqrt{34}}{34}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由线线垂直向线面垂直的转化推导、空间直角坐标系法向量夹角计算。
2. 避坑指南：

• 寻找原点建系时需通过勾股定理严格论证。本题中 $PA\perp \text{平面 }ABC$ 是通过 $△PAC$、 $△ABC$ 和 $△PAB$ 的三组勾股定理逆定理互证出来的。只有确定了 $PA\perp \text{平面 }ABC$，才能保证从 $C$ 点引出的 $z$ 轴与 $x,y$ 轴完全正交。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将角或系数推广，用辅助角公式与诱导公式化简后求周期、值域与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)