2005-广东卷-15 解-三角函数的诱导公式

本题导读

本题考查周期盲项的剥离、余弦偶函数性质的应用、正余弦和差公式。核心在于诱导公式剥离周期盲项与辅助角化简。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 15. 化简 $f(x)=\cos \left(\frac{6k+1}{3}\pi +2x\right)+\cos \left(\frac{6k-1}{3}\pi -2x\right)+2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)$ ($x\in \mathbf{R},k\in \mathbf{Z}$)，并求函数 $f(x)$ 的值域和最小正周期.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分离整数周期：利用诱导公式将角中的 $2k\pi$ 项分离并利用周期性消除。
2. 两角和与差公式展开：对余弦项和正弦项分别使用和差公式展开为基本正余弦组合。
3. 辅助角公式合成：将多项式合并同类项，化为 $A\sin (\omega x+\phi )$ 的形式，进而直接读取值域与最小正周期。

✅【答案】

Success

因为k∈Z，所以cos(\frac{6k + 1}{3}\pi + 2x)=cos(π

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：利用诱导公式化简前两项 $\frac{6k+1}{3}\pi +2x=2k\pi +\frac{\pi }{3}+2x$ $\frac{6k-1}{3}\pi -2x=2k\pi -\frac{\pi }{3}-2x$ $\because k\in \mathbf{Z}$，根据余弦函数的周期性 $\cos (2k\pi +\alpha )=\cos \alpha$，原式可化为： $f(x)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)+\cos \left(-\frac{\pi }{3}-2x\right)+2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)$ $\because \cos (-\alpha )=\cos \alpha$， $\therefore \cos \left(-\frac{\pi }{3}-2x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)$ 合并得： $f(x)=2\cos \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)+2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)$

• 第二步：展开并合并同类项 利用两角和公式展开： $\cos \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos 2x-\sin \frac{\pi }{3}\sin 2x=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$ $\sin \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos 2x+\cos \frac{\pi }{3}\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x$ 代入原式： $f(x)=2\left(\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right)+2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)$ $f(x)=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x+3\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x$ $f(x)=4\cos 2x$

• 第三步：求值域与最小正周期

1. 值域： $\because x\in \mathbf{R}⟹\cos 2x\in [-1,1]$， $\therefore f(x)=4\cos 2x\in [-4,4]$ 即函数 $f(x)$ 的值域为 $[-4,4]$。
2. 最小正周期： 由公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，其中 $\omega =2$： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 即函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：周期盲项 $2k\pi$ 的剥离、余弦偶函数性质的应用、正余弦和差公式。
2. 避坑指南：

• 提取 $2k\pi$ 时项数分配不要出错。将 $\frac{6k\pm 1}{3}\pi$ 拆分成 $2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$ 是简化问题的关键，若直接强行展开容易造成运算繁琐引发符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将角或系数推广，用辅助角公式与诱导公式化简后求周期、值域与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)