2005-广东卷-14 填-由线定点的组合映射模型

本题导读

本题考查由线定点的组合映射模型，以及平行约束对交点总数的修正。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 14. 设平面内有 $n$ 条直线 ($n⩾3$)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点. 若用 $f(n)$ 表示这 $n$ 条直线交点的个数，则 $f(4)=$ $\underline{}$；当 $n>4$ 时， $f(n)=$ $\underline{}$. (用 $n$ 表示)

🔍【思路分析】

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1. 基本组合交点原理：平面内任意两条不平行的直线只要相交，就会产生 1 个交点。若 $n$ 条直线两两相交且任意三线不过同一点，交点总数应为 ${\mathrm{C}}_n^2$。
2. 扣除平行导致减少的交点：因为 $n$ 条直线中“有且仅有两条直线互相平行”，这两条平行线之间无法产生交点。因此，需在无任何平行的理想最大交点数 ${\mathrm{C}}_n^2$ 中，减去这 1 对平行线所缺少的 1 个交点，即 $f(n)={\mathrm{C}}_n^2-1$。
3. 计算具体值：将 $n=4$ 代入得到的通项公式即可求出 $f(4)$；对于 $n>4$，通项公式依然适用，将其化简为多项式形式即可。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 方法一：组合数去重法 若平面内 $n$ 条直线处于两两相交且无三线共点的理想状态下，任意两条直线均能确定 1 个交点，总交点个数为： ${\mathrm{C}}_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$

题目中限制“有且仅有两条直线互相平行”。由于这两条直线平行，它们在平面内永远不会相交，相比于两两相交的理想状态，恰好减少了 1 个交点。

又 $\because$ 题目规定“任意三条直线不过同一点”，说明其余所有相交直线所产生的交点没有任何重合现象。 因此， $n$ 条直线产生交点的通用计算公式为： $f(n)={\mathrm{C}}_n^2-1=\frac{n(n-1)}{2}-1=\frac{n^2-n-2}{2}$

• 当 $n=4$ 时，代入公式得： $f(4)={\mathrm{C}}_4^2-1=\frac{4\times 3}{2}-1=6-1=5$

• 当 $n>4$ 时，通项表达式为： $f(n)=\frac{n(n-1)}{2}-1\left(\text{或 }\frac{n^2-n-2}{2}\right)$

• 方法二：递推归纳法（动态增线分析） 我们从基础情况开始逐步加线：

1. $n=2$ 时，2条平行线，交点数为 $0$。
2. $n=3$ 时，引入第3条直线。它与前2条平行线均不平行，且无三线共点，因此会与前2条线各产生1个新交点： $f(3)=0+2=2$
3. $n=4$ 时，引入第4条直线。它与前3条线均不平行，故与前3条线各产生1个新交点： $f(4)=f(3)+3=2+3=5$
4. 依此类推，当已有 $n-1$ 条线时，引入第 $n$ 条直线会带来 $n-1$ 个新交点，建立一阶递推关系式： $f(n)=f(n-1)+(n-1)$

利用累加法从 $f(3)$ 开始求解通项： $f(n)=f(3)+3+4+\cdots +(n-1)$ $f(n)=2+\frac{(3+n-1)(n-1-3+1)}{2}=2+\frac{(n+2)(n-3)}{2}$ $f(n)=2+\frac{n^2-n-6}{2}=\frac{4+n^2-n-6}{2}=\frac{n^2-n-2}{2}$

答案为 5； $\frac{n(n-1)}{2}-1$ (或 $\frac{n^2-n-2}{2}$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由线定点的组合映射模型、平行约束对交点总数的修正。
2. 避坑指南：

• 不要混淆“有且仅有两条平行”与“两两成对平行”。题目中“有且仅有两条直线平行”的意思是，在这 $n$ 条线里，能且只能找出 2 条线方向相同，剩下的 $n-2$ 条线方向各不相同，且它们均与这两条平行线不平行。因此，损失的交点数只有这 2 条平行线之间没能相交的那 1 个。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变元素的限制条件（相邻、不相邻、定序、分组），体会分类讨论与分步计数的配合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

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