2005-广东卷-10 单-二阶线性递推数列

本题导读

本题考查二阶常系数齐次线性递推数列的等比构造，以及累加求和法与无穷极限。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 10. 已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_2=\frac{x_1}{2}$, $x_n=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2})$, $n=3,4,\cdots$. 若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=2$, 则 $x_1=$ ()

A. $\frac{3}{2}$　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 变性递推式：将二阶递推式 $x_n=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2})$ 移项变形为 $x_n-x_{n-1}=-\frac{1}{2}(x_{n-1}-x_{n-2})$。
2. 利用等比数列求通项：令 $d_n=x_n-x_{n-1}$，则 $\{d_n\}$ 是一个以 $-\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列。通过累加法（ 差分求和 ）可以将 $x_n$ 用含 $x_1$ 的代数式表示出来。
3. 求极限建立方程：对 $x_n$ 的表达式取 $n\to \infty$ 的极限，利用 ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$ ($|q|<1$) 的性质将极限值算出，令其等于 2 即可解得 $x_1$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：构造相邻项差分的等比数列 已知递推式为 $x_n=\frac{1}{2}{x}_{n-1}+\frac{1}{2}{x}_{n-2}$ （ $n⩾3$ ）。 两边同时减去 $x_{n-1}$ 得： $x_n-x_{n-1}=-\frac{1}{2}{x}_{n-1}+\frac{1}{2}{x}_{n-2}=-\frac{1}{2}(x_{n-1}-x_{n-2})$

这说明数列 $\{x_n-x_{n-1}\}$ 是一个等比数列，其公比 $q=-\frac{1}{2}$，首项为： $x_2-x_1=\frac{x_1}{2}-x_1=-\frac{1}{2}{x}_1$

因此，该差分等比数列的通项公式为： $x_n-x_{n-1}=(x_2-x_1)\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-2}=\left(-\frac{1}{2}{x}_1\right)\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-2}=x_1\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

• 第二步：利用累加法表示 $x_n$ 根据累加求和公式： $x_n=x_1+(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+\cdots +(x_n-x_{n-1})$ $x_n=x_1+{\sum }_{k=2}^n{x}_1\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{k-1}$

利用等比数列前 $n$ 项和公式进行计算（共有 $n-1$ 项）： $x_n=x_1+\frac{-\frac{1}{2}{x}_1\cdot \left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right]}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}$ $x_n=x_1+\frac{-\frac{1}{2}{x}_1\cdot \left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right]}{\frac{3}{2}}$ $x_n=x_1-\frac{1}{3}{x}_1\cdot \left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right]$ $x_n=\frac{2}{3}{x}_1+\frac{1}{3}{x}_1\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

• 第三步：对 $x_n$ 求无穷极限 $\because \left|-\frac{1}{2}\right|<1$， $\therefore {\lim }_{n\to \infty }{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=0$

对通项式两边取极限： ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n={\lim }_{n\to \infty }\left[\frac{2}{3}{x}_1+\frac{1}{3}{x}_1\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right]=\frac{2}{3}{x}_1+0=\frac{2}{3}{x}_1$

已知 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=2$， $\therefore \frac{2}{3}{x}_1=2⟹x_1=3$

故 (B) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二阶常系数齐次线性递推数列的等比构造、累加求和法与无穷极限。
2. 避坑指南：

• 等比求和时项数不要数错。从 $x_2-x_1$ 累加到 $x_n-x_{n-1}$，项数共有 $n-1$ 项，而不是 $n$ 项。
• 注意负公比的符号处理。分母是 $1-q=1-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$，容易因粗心错写成 $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变递推式的首项或系数，用待定系数法构造等比数列，或改用裂项、错位相减求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)