2005-广东卷-05 单-椭圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题主要考查焦点在 $x$ 轴上的椭圆的标准方程及其几何性质。通过题干中给出的焦点位置判定 $a^2$ 和 $b^2$ 的具体对象，结合离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 以及椭圆基本关系式 $a^2=b^2+c^2$ 列出关于未知数 $m$ 的齐次方程，求解即可。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 5. 若焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，则 $m=$ ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\frac{8}{3}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本几何量：因为椭圆的焦点在 $x$ 轴上，所以 $x^2$ 项的分母大于 $y^2$ 项的分母，即 $a^2=2$ 且 $b^2=m$（蕴含条件 $2>m>0$）。
2. 利用离心率求 $c$：根据离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，已知 $a=\sqrt{2}$，可以直接求出焦半距 $c$ 的值，进而得到 $c^2$。
3. 利用代数关系求 $m$：根据椭圆中恒成立的性质 $b^2=a^2-c^2$，将已知和求出的 $a^2,c^2$ 代入，即可求得 $b^2$（即 $m$）的数值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：由焦点位置确定 $a^2$ 与 $b^2$ $\because$ 椭圆 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上， $a^2=2,b^2=m(\text{且 }2>m>0)$ 由此可得，长半轴长 $a=\sqrt{2}$。

• 第二步：利用离心率计算焦半距 $c$ $\because$ 离心率 $e=\frac{1}{2}$，由公式 $e=\frac{c}{a}$ 可得： $\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}⟹c=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 对两边平方求出 $c^2$ 的值： $c^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

• 第三步：结合性质关系式求 $m$ 在椭圆中， $a^2,b^2,c^2$ 满足几何关系： $b^2=a^2-c^2$ 将 $b^2=m$, $a^2=2$, $c^2=\frac{1}{2}$ 代入上式中： $m=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ 经检验， $\frac{3}{2}<2$，符合焦点在 $x$ 轴上的几何实际。

故 (B) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点方位对椭圆标准方程分母大小的决定性、离心率齐次关系式变形。
2. 核心方法：几何元素互化法。
3. 避坑指南：

• 切勿混淆椭圆与双曲线的 $a,b,c$ 关系。椭圆中是长平方等于两短平方和，即 $a^2=b^2+c^2$；而双曲线中是 $c^2=a^2+b^2$。由于公式记错会导致算成 $m=2-c^2$ 符号出错或算成其他错误数值。
• 注意焦点位置限制。题目明确指出焦点在 $x$ 轴上，代表 $2>m$。若算出的结果大于或等于 2，则说明不符合题意，需重新检查。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年广东高考数学第 5 题，主要考查解析几何中圆锥曲线基础几何特性的定值推导，属于基础题。
2. 结论推广：对于标准方程形式为 $\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{N}=1$ 且焦点在 $x$ 轴上的椭圆，其离心率平方为 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{M-N}{M}=1-\frac{N}{M}$。本题中 $M=2,e=\frac{1}{2}$，直接代入推广公式可得 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{m}{2}⟹\frac{1}{4}=1-\frac{m}{2}⟹\frac{m}{2}=\frac{3}{4}⟹m=\frac{3}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)