2005-广东卷-04 单-正三角形的面积公式

本题导读

本题主要考查直三棱柱的几何性质以及三棱锥体积的计算。核心在于明确三棱锥 $B^{\prime }-ABC$ 的底面是正三角形 $△ABC$，高即为直棱柱的高（或通过顶点 $B^{\prime }$ 作底面 $ABC$ 的垂线，由于是直棱柱，高长等于侧棱长），直接套用锥体体积公式即可求解。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 4. 已知高为 3 的直棱柱 $ABC-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的底面是边长为 1 的正三角形 (如图所示)，则三棱锥 $B^{\prime }-ABC$ 的体积为 ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算底面积：三棱锥 $B^{\prime }-ABC$ 的底面为 $△ABC$。由于底面是边长为 1 的正三角形，可直接利用正三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ 算得底面积。
2. 确定高：根据直棱柱的性质，侧棱垂直于底面，因此顶点 $B^{\prime }$ 到底面 $ABC$ 的距离（即三棱锥的高 $h$）等于直棱柱的高，即 $h=3$。
3. 计算体积：代入棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}S\cdot h$ 即可得出答案。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算底面正三角形 $△ABC$ 的面积 已知底面 $△ABC$ 是边长 $a=1$ 的正三角形，根据面积公式： $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

• 第二步：确定三棱锥 $B^{\prime }-ABC$ 的高 $\because$ 几何体 $ABC-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 是直棱柱， $\therefore$ 侧棱 $B{B}^{\prime }$ 垂直于底面 $ABC$。 $\therefore$ 顶点 $B^{\prime }$ 到底面 $ABC$ 的距离即为侧棱 $B{B}^{\prime }$ 的长度，等于棱柱的高。 即三棱锥的高 $h=3$。

• 第三步：应用锥体体积公式计算 根据三棱锥的体积公式 $V=\frac{1}{3}S\cdot h$ 可得： $V_{B^{\prime }-ABC}=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times h=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 3=\frac{\sqrt{3}}{4}$

故 (D) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三角形面积公式、直棱柱高度与侧棱垂直性关系的几何转化、棱锥体积公式。
2. 核心方法：公式直接代入法。
3. 避坑指南：

• 切勿漏掉棱锥体积公式前面的系数 $\frac{1}{3}$。有些考生容易把锥体体积公式和柱体体积公式（ $V=S\cdot h$ ）混淆，不小心算成 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 从而找不到选项。另外需要注意在化简时将 $\frac{1}{3}$ 与高 3 准确约去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年广东高考数学第 4 题，考查立体几何中柱体和锥体体积的基础计算，属于容易题。
2. 结论推广：若一个直三棱柱的底面正多边形面积为 $S$，高为 $h$，则从该直棱柱的任一上底面顶点向下底面引出的三棱锥，其体积恒为原棱柱总体积的 $\frac{1}{3}$，即 $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}{V}_{\text{柱}}=\frac{1}{3}Sh$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

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